【中学数学】高校入試で使える重要公式を一覧でまとめておくよ!

中学数学で学習する重要な公式たちをまとめておきます。

入試や学力テストなど

大きなテストの前には、こちらの記事で公式をチェックしておきましょう(^^)

 

計算

数学の計算問題に関する覚えておきたい技法、公式をまとめておきます。

ルートの有理化

$$\large{\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

分母にあるルートを消したいときには、分母と分子の両方に同じルートをかけてやりましょう。

詳しくはこちらの記事でも解説しています。

【平方根】分母の有理化のやり方はこれでバッチリ!

 

例題

分母にルートがない形に変形しなさい。

$$\frac{6}{\sqrt{3}}$$

解説&答えはこちら

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}$$

$$=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$

$$=2\sqrt{3}$$

乗法公式

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

 

乗法公式の詳しい使い方はこちらで解説しています。

展開の公式のやり方は?問題を使って徹底解説!

 

例題

次の式を展開しなさい。

$$(x+2)(x-4)$$

$$(x+3)(x-3)$$

$$(x+3)^2$$

$$(x-6)^2$$

解説&答えはこちら

$$\begin{eqnarray}(x+2)(x-4)&=&x^2+(2-4)x-8\\[5pt]&=&x^2-2x-8 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} (x+3)(x-3)&=&x^2-3^2\\[5pt]&=&x^2-9\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}(x+3)^2&=&x^2+2\times x\times 3+3^2\\[5pt]&=&x^2+6x+9 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}(x-6)^2&=&x^2-2\times x\times 6+6^2\\[5pt]&=&x^2-12x+36 \end{eqnarray}$$

 

方程式

方程式を解くために覚えておきたい公式です。

解の公式

二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

 

二次方程式の解き方についてはこちらの記事で解説しています。

【二次方程式】解き方をパターン別に解説していくよ!

 

例題

次の二次方程式を解きなさい。

$$x^2+3x+1=0$$

解説&答えはこちら

$$x^2+3x+1=0$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times 1\times 1}}{2}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}$$

$$=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$$

 

関数

関数において覚えておきたい公式をまとめておきます。

関数の式

【比例】  \(y=ax\)

【反比例】 \(\displaystyle{y=\frac{a}{x}}\)

【一次関数】 \(y=ax+b\)

【\(y\)は\(x\)の二乗に比例する関数】 \(y=ax^2\)

関数の式の作り方についてはこちらの記事で解説しています。

【比例 反比例の式】式の作り方、違いは?

【一次関数】式の求め方をパターン別に問題解説!

【関数y=ax2乗】式の作り方はこれでバッチリ!

 

例題

次のとき、関数の式を作りなさい。

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=2\)のとき\(y=6\)になる。

\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=-2\)のとき\(y=3\)になる。

\(y\)は\(x\)の二乗に比例し、\(x=3\)のとき\(y=18\)になる。

解説&答えはこちら

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=2\)のとき\(y=6\)になる。

$$6=2a$$

$$a=3$$

$$y=3x$$

 

\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=-2\)のとき\(y=3\)になる。

$$3=-\frac{a}{2}$$

$$a=-6$$

$$y=-\frac{6}{x}$$

 

\(y\)は\(x\)の二乗に比例し、\(x=3\)のとき\(y=18\)になる。

$$18=9a$$

$$a=2$$

$$y=2x^2$$

 

変化の割合

変化の割合は上のような式で求めることができます。

ですが、これにプラスして覚えておきたいことがあります。

 

一次関数の変化の割合は傾きと等しい。

 

\(y=ax^2\)の変化の割合は裏ワザ公式あって

このように求めることができましたね。

 

詳しくはこちらの記事で解説しています。

【変化の割合】簡単な求め方は?一次関数、二乗に比例する関数のやり方

 

例題

次の\(x\)の値が2から4まで増加するとき、次の関数の変化の割合を求めなさい。

$$y=-3x+4$$

$$y=2x^2$$

解説&答えはこちら

\(y=-3x+4\)の変化の割合は傾きと等しいから、\(-3\)

 

\(y=2x^2\)の変化の割合は裏ワザ公式を使うと

$$2(2+4)=12$$

 

図形

図形における様々な公式をまとめておきます。

円、おうぎ形

円の公式

円の面積: \(\pi r^2\)

円周の長さ: \(2\pi r\)

 

おうぎ形の公式

おうぎ形の面積: \(\displaystyle{\pi r^2\times \frac{a}{360}}\)

おうぎ形の弧の長さ: \(\displaystyle{2\pi r\times \frac{a}{360}}\)

詳しくはこちらの記事でも解説しています。

【おうぎ形】面積、弧の長さ、中心角の求め方を問題解説!

例題

半径3㎝の円周の長さ、面積

半径3㎝、中心角60°のおうぎ形の弧の長さ、面積

解説&答えはこちら

半径3㎝の円周の長さ、面積

円周の長さ \(2\pi \times 3=6\pi (cm)\)

面積 \(\pi \times 3^2=9\pi (cm^2)\)

 

半径3㎝、中心角60°のおうぎ形の弧の長さ、面積

弧の長さ \(\displaystyle{2\pi \times 3 \times \frac{60}{360}=\pi (cm)}\)

弧の長さ \(\displaystyle{\pi \times 3^2 \times \frac{60}{360}=\frac{3}{2}\pi (cm^2)}\)

 

体積

柱体

$$(体積)=(底面積)\times (高さ)$$

 

錐体

$$(体積)=(底面積)\times (高さ)\times \frac{1}{3}$$

 

例題

次の立体の体積を求めなさい。

解説&答えはこちら

【三角柱】

$$(3\times 5\times \frac{1}{2})\times 4=30(cm^3)$$

 

【円錐】

$$\pi \times 4^2 \times 9 \times \frac{1}{3}=48\pi (cm^3)$$

 

円錐の中心角、表面積

詳しくは、こちらの記事で解説しています。

円錐の表面積、中心角を求める問題を丁寧に解説!

 

例題

次の円錐の表面積を求めなさい。

解説&答えはこちら

側面積 \(3\times 8\times \pi =24\pi\)

底面積 \(3\times 3\times \pi =9\pi\)

 

表面積 \(24\pi + 9\pi =33\pi (cm^2)\)

 

球の表面積:  \(\displaystyle{4\pi r^2}\)

球の体積:  \(\displaystyle{\frac{4}{3}\pi r^3}\)

球の体積・表面積 公式の覚え方は語呂合わせ!

 

例題

半径が3㎝である球の表面積、体積を求めなさい。

解説&答えはこちら

【表面積】

$$4\pi \times 3^2=36\pi (cm^2)$$

【体積】

$$\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi (cm^3)$$

 

合同条件

三角形の合同条件

  • 3組の辺がそれぞれ等しい
  • 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  • 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

合同な図形の性質とは?見つけ方は?

 

直角三角形の合同条件

  • 直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい
  • 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

【直角三角形】証明問題の書き方とは?合同条件の使い方を徹底解説!

 

二等辺三角形

二等辺三角形の定義…2辺が等しい三角形

二等辺三角形の性質

二等辺三角形の角度の求め方を問題を使って徹底解説!

 

二等辺三角形になるための条件

  • 2辺が等しい
  • 2つの角が等しい

 

正三角形

正三角形の定義…3辺が等しい三角形

正三角形の性質

  • 3つの内角が等しい(すべて60°)

【正三角形の角度】正方形、ひし形との融合問題を解説!

 

平行四辺形

平行四辺形の定義…2組の対辺がそれぞれ平行な四角形

平行四辺形の性質

  • 2組の対辺がそれぞれ等しい
  • 2組の対角がそれぞれ等しい
  • 対角線はそれぞれの中点で交わる

【平行四辺形の角度、辺の長さ】求め方を問題解説!

 

平行四辺形になるための条件

  • 2組の対辺がそれぞれ平行である
  • 2組の対辺がそれぞれ等しい
  • 2組の対角がそれぞれ等しい
  • 対角線がそれぞれの中点で交わる
  • 1組の対辺が平行でその長さが等しい

平行四辺形の証明問題を徹底解説!

特殊な平行四辺形の定義

長方形の定義…4つの角がすべて直角である四角形

ひし形の定義…4つの辺がすべて等しい四角形

正方形の定義…4つの角がすべて直角で、4つの辺がすべて等しい四角形

 

相似条件

三角形の相似条件

  • 3組の辺の比がすべて等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

相似な図形のみつけ方、相似条件とは?

 

中点連結定理

△ABCにおいて、中点同士を結ぶと中点連結定理が成り立ちます。

 

中点連結定理、三等分の三角形の求め方を問題解説!

 

角の二等分線

平行線と比の利用、辺の長さを求める方法をまとめて問題解説!

 

例題

次の図形において、\(x\)の値を求めなさい。

解説&答えはこちら

$$x=10\times \frac{5}{12}=\frac{25}{6}(cm)$$

 

面積比、体積比

 

 

相似の面積比を求める問題をイチからやってみよう!

円周角の定理

 

円周角のパターン別問題円周はこちら

円周角の定理を使った問題の解き方をパターン別に解説!

 

接弦定理

>【接線と弦のつくる角の定理】問題の解き方、証明をサクッと解説!

 

三平方の定理

【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説!

 

例題

次の図形において、\(x\)の値を求めなさい。

解説&答えはこちら

$$x^2=9^2+12^2$$

$$x^2=81+144$$

$$x^2=225$$

$$x=15$$

 

直方体、立方体の対角線の長さは公式でラクラク計算できるぞ!

 

例題

次の直方体の対角線の長さを求めなさい。

解説&答えはこちら

$$\begin{eqnarray}\sqrt{2^2+2^2+4^4}&=&\sqrt{4+4+16}\\[5pt]&=&\sqrt{24}\\[5pt]&=&2\sqrt{6}cm \end{eqnarray}$$

 

二点間の距離の求め方をイチから解説!

 

例題

次の2点AB間の距離を求めなさい。

解説&答えはこちら

$$\begin{eqnarray}AB&=&\sqrt{\{3-(-1)\}^2+(5-2)^2}\\[5pt]&=&\sqrt{4^2+3^2}\\[5pt]&=&\sqrt{25}\\[5pt]&=&5 \end{eqnarray}$$

 

重要公式は以上!

みなさんの健闘を祈る!

テスト頑張れ(/・ω・)/

 

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数スタの運営をしている小田です。
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20 件のコメント

  • 匿名 より:

    相似条件の所間違っています。
    正しくは、「3組の辺の比が全て等しい」です。
    訂正お願い致します。

    • 数スタ運営者 より:

      訂正しました。
      ご指摘ありがとうございました!

  • 匿名 より:

    角の二等分線の性質AB:ACです

    • 数スタ運営者 より:

      訂正いたしました(^^;)
      ご指摘ありがとうございました!

    • 数スタ運営者 より:

      ありがとうございます!!

    • 数スタ運営者 より:

      参考になったようで嬉しいです!
      コメントありがとう(/・ω・)/

  • m より:

    受験勉強の参考にさせて頂きました。
    分かりやすかったです。
    ありがとうございます❊

    • 数スタ運営者 より:

      ありがとうございます(^^)
      受験勉強がんばってください!

  • k より:

    平行四辺形や二等辺三角形の性質(二等辺三角形で底角は等しい や、 平行四辺形
    で1組の辺が平行で等しい)も加わったらなお良いと思いました

    • 数スタ運営者 より:

      ご指摘いただいた箇所を追加しておきました!

  • あずさ より:

    わかりやすいです(^^)
    ありがとうございます!

    • 数スタ運営者 より:

      ありがとうございます(/・ω・)/

  • 匿名 より:

    めちゃくちゃ分かりやすくてありがたいです!
    参考にさせていただきます(˶ ̇ ̵ ̇˶ )

    • 数スタ運営者 より:

      ありがとうございます(^^)
      勉強がんばってくださいね(/・ω・)/

  • みみ より:

    すごく分かりやすいです残り1日なんで頑張ります

    • 数スタ運営者 より:

      頑張ってください(/・ω・)/

  • マッチャオレ より:

    接弦定理も加えて欲しいです

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