【おうぎ形】面積、弧の長さ、中心角の求め方を問題解説!

今回は中1で学習する

『平面図形』の単元から

おうぎ形の公式について、まとめて解説していくよ!

 

問題演習もつけているので

問題に挑戦しながら公式を身につけていこう!

スポンサーリンク

覚えておきたい円、おうぎ形の公式

おうぎ形の公式を学習するためには

まず円の公式を覚えておく必要があります。

円の面積、円周の長さの公式

円の公式

円周の長さ

$$2\pi r$$

円の面積

$$\pi r^2$$

演習問題で理解を深める!

(1)半径が3㎝の円周の長さと面積を求めなさい。

(1)解説&答えはこちら

答え

円周の長さ:\(6\pi  cm\)

面積:\(9\pi  cm^2\)

円周の長さを求めるためには\(2\pi r\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times3=6\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 3^2=9\pi cm^2$$

 

(2)半径が8㎝の円周の長さと面積を求めなさい。

(2)解説&答えはこちら

答え

円周の長さ:\(16\pi  cm\)

面積:\(64\pi  cm^2\)

円周の長さを求めるためには\(2\pi r\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times8=16\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 8^2=64\pi cm^2$$

 

(3)半径が10㎝の円周の長さと面積を求めなさい。

(3)解説&答えはこちら

答え

円周の長さ:\(20\pi  cm\)

面積:\(100\pi  cm^2\)

円周の長さを求めるためには\(2\pi r\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times10=20\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 10^2=100\pi cm^2$$

 

円の公式が身についたら

次はおうぎ形の公式を確認していきましょう!

おうぎ形の弧の長さ、面積の公式

おうぎ形の弧の長さ

$$2\pi r \times \frac{a}{360}$$

おうぎ形の面積

$$\pi r^2 \times \frac{a}{360}$$

 

円の公式を覚えていれば

おうぎ形の公式は\(\times \frac{a}{360}\)をくっつけるだけで作ることができますね!

 

演習問題で理解を深める!

(1)半径6㎝、中心角120°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(1)解説&答えはこちら

答え

弧の長さ:\(4\pi  cm\)

面積:\(12\pi  cm^2\)

弧の長さを求めるためには\(2\pi r \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times 6 \times \frac{120}{360}$$

$$=12\pi \times \frac{1}{3}$$

$$=4\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2 \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 6^2 \times \frac{120}{360}$$

$$=36\pi \times \frac{1}{3}$$

$$=12\pi cm^2$$

 

(2)半径4㎝、中心角45°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(2)解説&答えはこちら

答え

弧の長さ:\(\pi  cm\)

面積:\(2\pi  cm^2\)

弧の長さを求めるためには\(2\pi r \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times 4 \times \frac{45}{360}$$

$$=8\pi \times \frac{1}{8}$$

$$=\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2 \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 4^2 \times \frac{45}{360}$$

$$=16\pi \times \frac{1}{8}$$

$$=2\pi cm^2$$

 

(3)半径8㎝、中心角90°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(3)解説&答えはこちら

答え

弧の長さ:\(4\pi  cm\)

面積:\(16\pi  cm^2\)

弧の長さを求めるためには\(2\pi r \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$2\pi \times 8 \times \frac{90}{360}$$

$$=16\pi \times \frac{1}{4}$$

$$=4\pi cm$$

円の面積を求めるためには\(\pi r^2 \times \frac{a}{360}\)の公式にあてはめます。

$$\pi \times 8^2 \times \frac{90}{360}$$

$$=64\pi \times \frac{1}{4}$$

$$=16\pi cm^2$$

スポンサーリンク

おうぎ形の中心角の求め方

おうぎ形の公式を身につけたところで

次は発展問題の『中心角を求める』について解説していきます。

おうぎ形の中心角を求める公式

おうぎ形の中心角を求める方法は他にもあるんだけど

今回は、一番簡単そうなやつを紹介しておくね。

他の方法については、こちらの記事を参考にしてください!

【おうぎ形】中心角を求める3つのパターンを解説!方程式で解く?比を使う?

2017.11.07

 

公式を見ただけでは、ちょっとわかりにくいから

例題を使って解説していくね!

例題

半径\(6\)㎝、弧の長さ\(8\pi\)cmのおうぎ形の中心角を求めなさい。

おうぎ形の弧の長さが与えられているので

こちらの公式を利用します。

まずは、半径6㎝の円の円周の長さを求めます。

$$2\pi \times 6=12\pi cm$$

 

そして、公式にそれぞれの値をあてはめていくと

$$\frac{8\pi}{12\pi}\times 360$$

約分をしていきましょう。

(πも約分で消えてしまいます)

$$=\frac{2}{3}\times 360$$

$$=240°$$

答え

$$240°$$

このように公式に当てはめていけば

簡単に中心角を求めることができます(^^)

 

それでは、演習問題で理解を深めていきましょう!

演習問題で理解を深めよう!

(1)半径\(9\)㎝、面積\(9\pi\)cm²のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(1)解説&答えはこちら

答え

 

$$40°$$

おうぎ形の面積が与えられているので

こちらの公式を利用します。

まずは、半径9㎝の円の面積を求めます。

$$\pi \times 9^2=81\pi cm^2$$

 

そして、公式にそれぞれの値をあてはめていくと

$$\frac{9\pi}{81\pi}\times 360$$

約分をしていきましょう。

(πも約分で消えてしまいます)

$$=\frac{1}{9}\times 360$$

$$=40°$$

 

 

(2)半径\(12\)㎝、弧の長さ\(3\pi\)cmのおうぎ形の中心角を求めなさい。

(2)解説&答えはこちら

答え

$$45°$$

おうぎ形の弧の長さが与えられているので

こちらの公式を利用します。

まずは、半径12㎝の円の円周の長さを求めます。

$$2\pi \times 12=24\pi cm2$$

 

そして、公式にそれぞれの値をあてはめていくと

$$\frac{3\pi}{24\pi}\times 360$$

約分をしていきましょう。

(πも約分で消えてしまいます)

$$=\frac{1}{8}\times 360$$

$$=45°$$

 

 

円とおうぎ形の公式 まとめ

お疲れ様でした!

円とおうぎ形の公式を覚えれましたか??

 

公式がなかなか覚えれないという人の中には

円とおうぎ形の公式を別々に考えている人が多いです。

おうぎ形の公式は

円の公式に\(\times \frac{a}{360}\)をくっつけるだけですからね!

 

円の公式を覚えてしまえば

おうぎ形は、ついでに覚えちゃうことができるはずです。

 

おうぎ形の問題では、どうしても分数の計算が必要になってくるので

分数の計算が苦手な人は特訓しておく必要がありますね。

【文字式】分数の計算問題を1から丁寧に!

2017.10.31

 

覚えるのが苦手だな…という人は

たくさん問題演習して、とにかく手を動かすことが大事!

ファイトだー(/・ω・)/

 

スポンサーリンク

近づいてまいりました…

1学期期末テスト!

 

しっかりと対策して自己最高点、取っちゃおうぜ★

【中1数学】1学期期末テストに出題される問題ポイントまとめ!

2018.05.22

【中2数学】1学期期末テストに出題される問題ポイントまとめ!

2018.06.10

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。