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【球の体積・表面積】公式の覚え方は語呂合わせで!問題を使って解説!

今回は中1で学習する「空間図形」の単元から

球の体積・表面積の求め方について解説していくよ!

 

 

球というのは

こういったボール状の形をしているものだよね!

 

実は、ちょっとだけ公式が複雑だったりします(^^;

だけど、公式を覚えることができれば楽勝の問題になっちゃいます。

 

今回は、複雑な公式の覚え方についても紹介していくので

この記事を通して、球をマスターしていこう!

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球の体積・表面積の公式

球の体積

$$\LARGE{\frac{4}{3}\pi r^3}$$

 

半径3㎝の球の体積

$$\large{\frac{4}{3}\pi \times 3^3}$$

$$\large{=\frac{4}{3}\pi \times 27}$$

$$\large{=36\pi (cm^3)}$$

 

球の表面積

$$\LARGE{4\pi r^2}$$

 

半径4㎝の球の表面積

$$\large{4\pi \times 4^2}$$

$$\large{=4\pi \times 16}$$

$$\large{=64\pi (cm^2)}$$

 

 

公式を覚えることができたら

\(r\)の部分に半径の値を当てはめてやるだけでOKです!

計算自体は簡単^^

 

あとは、この複雑な公式を正確に覚えれるかどうかだけですね。

 

ということで

私が学生の頃から使われている

球の公式を覚えるための語呂合わせを紹介していきます!

 

覚えにくいから語呂合わせで覚えよう!

球の体積公式を語呂合わせ

 

身の上に心配ある人が参上!

どんな状況やねん!とツッコミを入れたくなるのですが

公式を覚えるための語呂合わせです。

我慢してください。

 

 

球の表面積公式を語呂合わせ

 

 

心配あるある~ 言いたい~♪

 

 

お笑い芸人さんのネタを思い浮かべながら覚えましょう。

あるある言いたい~♪

 

参考:RGさんのあるあるネタ

 

 

このように語呂合わせで覚えてしまえば

複雑な公式であっても、その場で思い出すことができますね!

私は今でも語呂合わせで思い出すことがありますw

 

 

あ!

語呂合わせで公式は覚えたけど

どっちが体積で、どっちが表面積だっけ?

というようにごちゃごちゃになっちゃう人も多いです。

 

 

そういう人は、体積と表面積の単位に注目しましょう。

体積の単位には\(cm^3\)、\(m^3\)というように3乗がついているよね。

だから、公式にも\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3\)というように3乗がある。

 

面積の単位には\(cm^2\)、\(m^2\)というように2乗がついているよね。

だから、公式にも\(4\pi r^2\)というように2乗がある。

 

 

このように3乗、2乗を単位と関連付けておくことで

どっちがどっちだっけ?

というような悩みは解消されるはずです。

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演習問題で理解を深めよう!

それでは、問題を通して球の公式をしっかりと身につけていきましょう!

 

半径6㎝の球の体積、表面積をそれぞれ求めなさい。
解説&答えはこちら

答え

体積:\(288\pi (cm^3)\)   表面積:\(144\pi (cm^2)\)

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 6^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 216$$

$$=288\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 6^2$$

$$=4\pi \times 36$$

$$=144\pi (cm^2)$$

 

次の図形の体積、表面積をそれぞれ求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

体積:\(\displaystyle \frac{256}{3}\pi (cm^3)\)   表面積:\(64\pi (cm^2)\)

 

直径が8㎝だから、半径は4㎝だね!

公式を用いるには、半径の値が必要なのでしっかりと読み取ろう。

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 4^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 64$$

$$=\frac{256}{3}\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 4^2$$

$$=4\pi \times 64$$

$$=256\pi (cm^2)$$

 

下の図のようなおうぎ形を、直線\(l\)を軸として1回転させてできる立体の体積、表面積を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

体積:\(\displaystyle \frac{500}{3}\pi (cm^3)\)   表面積:\(100\pi (cm^2)\)

 

 

おうぎ形を1回転させると、半径5㎝の球ができあがります。

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 5^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 125$$

$$=\frac{500}{3}\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 5^2$$

$$=4\pi \times 25$$

$$=100\pi (cm^2)$$

 

 

半球の体積・表面積は?

それでは、ちょっとした応用問題について考えてみましょう。

 

球を半分に切った半球

この半球の体積と表面積は、どのように求めれば良いのでしょうか。

半球の体積を求める方法

元の球の状態の体積を求めて半分にしてやります。

$$\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi$$

$$36\pi \times \frac{1}{2}=18\pi (cm^3)$$

 

まぁ、半球だからといって特別な公式があるわけではありませんね!

 

だけど、表面積はちょっと注意が必要です。

半球の表面積を求める方法

半球の表面積を求める場合には

半球の局面部分

$$4\pi \times 3^2 \times \frac{1}{2}=18\pi$$

 

半球の底部分

$$\pi \times 3^2=9\pi$$

それぞれを求めて足してやる必要があります。

$$\large{18\pi +9\pi=27\pi(cm^2)}$$

 

底部分を求め忘れるケースが多いので注意が必要です。

 

まとめ

お疲れ様でした!

球の公式は覚えれましたか?

 

なかなか覚えれないよーという方は

ぜひ語呂合わせも利用してみてくださいね!

 

球の体積・表面積の公式

体積

$$\large{\frac{4}{3}\pi r^3}$$

(身の上に心配ある参上!)

 

表面積

$$\large{4\pi r^2}$$

(心配あるある)

 

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