【中学3年】円周角の定理を使った問題の解き方をパターン別に解説!

今回は中学3年生で学習する

『円周角の定理』から

角度を求める問題を徹底的に解説していくよ!

 

今回解説していく問題はこちら

 

これは分かるぜ!っていう問題は目次ページから飛ばして読んでいってくださいな。

 

では、いくぞー!

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円周角の定理とは

まず、問題を解いていく上で知っておいて欲しい知識がこちら

 

  • 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい

 

  • 同じ弧に対する中心角の大きさは円周角の大きさの2倍
  • 直径に対する円周角は90°

 

  • 弧の長さが等しければ、円周角・中心角の大きさは等しい

同じ弧でなくても長さが等しければ、円周角、中心角は等しくなります。

 

  • 円周角、中心角の大きさは、弧の長さに比例する

 

  • 円に内接する四角形の対角の和は180°

 

それでは、以上のことを頭に入れておいて

問題に挑戦してみましょう!

 

(1)(2)円周角の定理 基本問題解説!

次の∠xの大きさを求めなさい。

(1)解説&答えはこちら

(1)答え

$$∠x=40°$$

同じ弧に対する円周角の大きさは等しくなるので

 

\(x\)も40°となります。

(2)解説&答えはこちら

(2)答え

$$∠x=70°$$

(2)の問題では、中心角と円周角の関係より

中心角である\(x\)は円周角35°の2倍となります。

 

 

これらは楽勝問題ですね!

円周角の定理をしっかりと覚えておけば大丈夫なはずです。

 

では、少しずつ難易度を上げていきましょう。

(3)(4)見た目がややこしい 問題解説!

次の∠xの大きさを求めなさい。

(3)解説&答えはこちら

(3)答え

$$∠x=140°$$

簡単そうに見えるのですが、引っかかって間違える人が多い問題です。

110°の角に対する中心角の位置を間違えないでください。

中心角は220°となるので

$$∠x=360-220=140°$$

 

(4)解説&答えはこちら

(4)答え

$$∠x=55°$$

この問題…なんかすごいですね

とげとげしいです。

こういった、とげとげ円周角の場合

補助線を書いて考えていきます。

すると、30°と50°の円周角をみると

xの大きさは30°と25°を合わせた角だと分かります。

$$∠x=30+25=55°$$

 

 

とげとげ円周角は

2つのとげを合わせると、真ん中のとげになる!

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(5)(6)直径に対する円周角、弧の長さ等しい問題解説!

次の∠xの大きさを求めなさい。

(5)解説&答えはこちら

(5)答え

$$∠x=55°$$

直径を表す線がある場合には

この性質を使って、90°の角を見つけます。

そこから角をたどっていくと

$$∠x=55°$$

となります。

 

 

(6)解説&答えはこちら

(6)答え

$$∠x=59°$$

\(\stackrel{ \Large \frown }{ AD }=\stackrel{ \Large \frown }{ BC }\)より

長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しくなるので

\(∠CAB=48°\)ということがわかります。

ここからいろいろと角をたどっていくと

$$∠x=180-25-96=59°$$

 

(7)(8)弧の長さと比に関する円周角の問題解説!

次の∠xの大きさを求めなさい。

(7)解説&答えはこちら

(7)答え

$$∠x=40°$$

弧の長さの比が円周角の大きさの比になるので

$$3:4=30:x$$

$$3x=120$$

$$x=40$$

 

(8)解説&答えはこちら

(8)答え

$$∠x=90°$$

このように○等分というような問題は

1区画分の中心角、円周角を求めることが大事です。

6等分の場合

1区画分の中心角の大きさは

\(360\div 6=60°\)となります。

 

そして、その1区画分の円周角は

中心角の半分の大きさになるので

1区画分の円周角の大きさは30°となります。

 

6等分の場合

1区画分の中心角は60°、円周角は30°

これを利用しながら問題を考えていきます。

 

補助線を1本引いて、1区画分の円周角の大きさを求めます。

次は、2区画分の円周角に注目して、大きさを求めます。

 

1区画分の円周角が30°だから

2区画分の場合は30×2=60°となります。

 

最後に三角形の外角に注目すると∠xの大きさを求めることができます。

 

 

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(9)(10)内接する四角形、接線に関する問題解説!

次の∠xの大きさを求めなさい。

(9)解説&答えはこちら

(9)答え

$$∠x=100°$$

四角形が円に内接していますね。

内接っていうのは

円の中にぴたっとはまっている状態のことね!

 

このように四角形が円に内接しているときには

四角形の対角の和が180°になるという特徴があります。

これを利用すると

$$∠x=180-80=100°$$

内接の性質を覚えておけば簡単ですね!

なんで対角の和は180°やねん!!

オレは納得いかねえぇぇぇ!

という方はこちらをご参考くださいませ。

 

(10)解説&答えはこちら

(10)答え

$$∠x=40°$$

この問題では接線が出てきます。

接線が出てきたときには

中心と接点を結んで90°の角を作ってやりましょう!

中心と接点を結ぶと90°の角ができるという特徴があるので

補助線を引いて90°の角を作ります。

そこから中心角などをたどっていくと

 

四角形の内角の和は360°なので

$$∠x=360-(90+90+140)=40°$$

となります。

 

接線が出てきたら

補助線を引いて90°を作る!というのがポイントですね。

 

円周角の問題まとめ

問題演習お疲れ様でした。

円周角の問題を解いていくために大切な問題をパターン別に解説していきました。

今回解いてもらった問題を全て理解することができるれば

他の問題に関しても

ちょっと思考を変えるだけで解くことができるはずです。

 

まずは今回の10問を完璧にしておきましょう!

慣れてくるとパズルを解くような感覚で面白いですよ(^^)

 

さぁ、たっくさん問題演習して理解を深めていこう。

ファイトだー(/・ω・)/

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