今回は中学3年生で学習する
『円周角の定理』から
角度を求める問題を徹底的に解説していくよ！
今回解説していく問題はこちら
これは分かるぜ！っていう問題は目次ページから飛ばして読んでいってくださいな。
では、いくぞー！
Contents
円周角の定理とは
まず、問題を解いていく上で知っておいて欲しい知識がこちら
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい
- 同じ弧に対する中心角の大きさは円周角の大きさの2倍
- 直径に対する円周角は90°
- 弧の長さが等しければ、円周角・中心角の大きさは等しい
同じ弧でなくても長さが等しければ、円周角、中心角は等しくなります。
- 円周角、中心角の大きさは、弧の長さに比例する
- 円に内接する四角形の対角の和は180°
それでは、以上のことを頭に入れておいて
問題に挑戦してみましょう！
(1)(2)円周角の定理 基本問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（1）答え
$$∠x=40°$$
同じ弧に対する円周角の大きさは等しくなるので
\(x\)も40°となります。
（2）答え
$$∠x=70°$$
（2）の問題では、中心角と円周角の関係より
中心角である\(x\)は円周角35°の2倍となります。
これらは楽勝問題ですね！
円周角の定理をしっかりと覚えておけば大丈夫なはずです。
では、少しずつ難易度を上げていきましょう。
(3)(4)見た目がややこしい 問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（3）答え
$$∠x=140°$$
簡単そうに見えるのですが、引っかかって間違える人が多い問題です。
110°の角に対する中心角の位置を間違えないでください。
中心角は220°となるので
$$∠x=360-220=140°$$
（4）答え
$$∠x=55°$$
この問題…なんかすごいですね
とげとげしいです。
こういった、とげとげ円周角の場合
補助線を書いて考えていきます。
すると、30°と50°の円周角をみると
∠xの大きさは30°と25°を合わせた角だと分かります。
$$∠x=30+25=55°$$
とげとげ円周角は
2つのとげを合わせると、真ん中のとげになる！
(5)(6)直径に対する円周角、弧の長さ等しい問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（5）答え
$$∠x=55°$$
直径を表す線がある場合には
この性質を使って、90°の角を見つけます。
そこから角をたどっていくと
$$∠x=55°$$
となります。
（6）答え
$$∠x=59°$$
\(\stackrel{ \Large \frown }{ AD }=\stackrel{ \Large \frown }{ BC }\)より
長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しくなるので
\(∠CAB=48°\)ということがわかります。
ここからいろいろと角をたどっていくと
$$∠x=180-25-96=59°$$
(7)(8)弧の長さと比に関する円周角の問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（7）答え
$$∠x=40°$$
弧の長さの比が円周角の大きさの比になるので
$$3:4=30:x$$
$$3x=120$$
$$x=40$$
（8）答え
$$∠x=90°$$
このように○等分というような問題は
1区画分の中心角、円周角を求めることが大事です。
6等分の場合
1区画分の中心角の大きさは
\(360\div 6=60°\)となります。
そして、その1区画分の円周角は
中心角の半分の大きさになるので
1区画分の円周角の大きさは30°となります。
6等分の場合
1区画分の中心角は60°、円周角は30°
これを利用しながら問題を考えていきます。
補助線を1本引いて、1区画分の円周角の大きさを求めます。
次は、2区画分の円周角に注目して、大きさを求めます。
1区画分の円周角が30°だから
2区画分の場合は30×2＝60°となります。
最後に三角形の外角に注目すると∠xの大きさを求めることができます。
(9)(10)内接する四角形、接線に関する問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（9）答え
$$∠x=100°$$
四角形が円に内接していますね。
内接っていうのは
円の中にぴたっとはまっている状態のことね！
このように四角形が円に内接しているときには
四角形の対角の和が180°になるという特徴があります。
これを利用すると
$$∠x=180-80=100°$$
内接の性質を覚えておけば簡単ですね！
なんで対角の和は180°やねん！！
オレは納得いかねえぇぇぇ！
という方はこちらをご参考くださいませ。
（10）答え
$$∠x=40°$$
この問題では接線が出てきます。
接線が出てきたときには
中心と接点を結んで90°の角を作ってやりましょう！
中心と接点を結ぶと90°の角ができるという特徴があるので
補助線を引いて90°の角を作ります。
そこから中心角などをたどっていくと
四角形の内角の和は360°なので
$$∠x=360-(90+90+140)=40°$$
となります。
接線が出てきたら
補助線を引いて90°を作る！というのがポイントですね。
円周角の問題まとめ
問題演習お疲れ様でした。
円周角の問題を解いていくために大切な問題をパターン別に解説していきました。
今回解いてもらった問題を全て理解することができるれば
他の問題に関しても
ちょっと思考を変えるだけで解くことができるはずです。
まずは今回の10問を完璧にしておきましょう！
慣れてくるとパズルを解くような感覚で面白いですよ(^^)
さぁ、たっくさん問題演習して理解を深めていこう。
ファイトだー(/・ω・)/
高校入試で使える公式集をプレゼント！
高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました！
定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。
学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/
これは知らないと損をするかも…！？
無料の中学生メルマガ講座にご登録いただいた方に、
高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。
こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください！
ご登録いただいたメールアドレスに教材を送らせていただきます。
登録は1分もあれば完了します。
ぜひ、こちらから中学生メルマガ講座に登録してみてくださいね(^^)
最初の5,6の問題が見えないのですが…
バグでしょうか？
訂正しておきました！！