今回は中学3年生で学習する
『円周角の定理』から
角度を求める問題を徹底的に解説していくよ！
今回解説していく問題はこちら
これは分かるぜ！っていう問題は目次ページから飛ばして読んでいってくださいな。
では、いくぞー！
Contents
円周角の定理とは
まず、問題を解いていく上で知っておいて欲しい知識がこちら
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい
- 同じ弧に対する中心角の大きさは円周角の大きさの2倍
- 直径に対する円周角は90°
- 弧の長さが等しければ、円周角・中心角の大きさは等しい
同じ弧でなくても長さが等しければ、円周角、中心角は等しくなります。
- 円周角、中心角の大きさは、弧の長さに比例する
- 円に内接する四角形の対角の和は180°
それでは、以上のことを頭に入れておいて
問題に挑戦してみましょう！
(1)(2)円周角の定理 基本問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（1）答え
$$∠x=40°$$
同じ弧に対する円周角の大きさは等しくなるので
\(x\)も40°となります。
（2）答え
$$∠x=70°$$
（2）の問題では、中心角と円周角の関係より
中心角である\(x\)は円周角35°の2倍となります。
これらは楽勝問題ですね！
円周角の定理をしっかりと覚えておけば大丈夫なはずです。
では、少しずつ難易度を上げていきましょう。
(3)(4)見た目がややこしい 問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（3）答え
$$∠x=140°$$
簡単そうに見えるのですが、引っかかって間違える人が多い問題です。
110°の角に対する中心角の位置を間違えないでください。
中心角は220°となるので
$$∠x=360-220=140°$$
（4）答え
$$∠x=55°$$
この問題…なんかすごいですね
とげとげしいです。
こういった、とげとげ円周角の場合
補助線を書いて考えていきます。
すると、30°と50°の円周角をみると
∠xの大きさは30°と25°を合わせた角だと分かります。
$$∠x=30+25=55°$$
とげとげ円周角は
2つのとげを合わせると、真ん中のとげになる！
(5)(6)直径に対する円周角、弧の長さ等しい問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（5）答え
$$∠x=55°$$
直径を表す線がある場合には
この性質を使って、90°の角を見つけます。
そこから角をたどっていくと
$$∠x=55°$$
となります。
（6）答え
$$∠x=59°$$
\(\stackrel{ \Large \frown }{ AD }=\stackrel{ \Large \frown }{ BC }\)より
長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しくなるので
\(∠CAB=48°\)ということがわかります。
ここからいろいろと角をたどっていくと
$$∠x=180-25-96=59°$$
(7)(8)弧の長さと比に関する円周角の問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（7）答え
$$∠x=40°$$
弧の長さの比が円周角の大きさの比になるので
$$3:4=30:x$$
$$3x=120$$
$$x=40$$
（8）答え
$$∠x=90°$$
このように○等分というような問題は
1区画分の中心角、円周角を求めることが大事です。
6等分の場合
1区画分の中心角の大きさは
\(360\div 6=60°\)となります。
そして、その1区画分の円周角は
中心角の半分の大きさになるので
1区画分の円周角の大きさは30°となります。
6等分の場合
1区画分の中心角は60°、円周角は30°
これを利用しながら問題を考えていきます。
補助線を1本引いて、1区画分の円周角の大きさを求めます。
次は、2区画分の円周角に注目して、大きさを求めます。
1区画分の円周角が30°だから
2区画分の場合は30×2＝60°となります。
最後に三角形の外角に注目すると∠xの大きさを求めることができます。
(9)(10)内接する四角形、接線に関する問題解説！
次の∠xの大きさを求めなさい。
（9）答え
$$∠x=100°$$
四角形が円に内接していますね。
内接っていうのは
円の中にぴたっとはまっている状態のことね！
このように四角形が円に内接しているときには
四角形の対角の和が180°になるという特徴があります。
これを利用すると
$$∠x=180-80=100°$$
内接の性質を覚えておけば簡単ですね！
なんで対角の和は180°やねん！！
オレは納得いかねえぇぇぇ！
という方はこちらをご参考くださいませ。
（10）答え
$$∠x=40°$$
この問題では接線が出てきます。
接線が出てきたときには
中心と接点を結んで90°の角を作ってやりましょう！
中心と接点を結ぶと90°の角ができるという特徴があるので
補助線を引いて90°の角を作ります。
そこから中心角などをたどっていくと
四角形の内角の和は360°なので
$$∠x=360-(90+90+140)=40°$$
となります。
接線が出てきたら
補助線を引いて90°を作る！というのがポイントですね。
円周角の問題まとめ
問題演習お疲れ様でした。
円周角の問題を解いていくために大切な問題をパターン別に解説していきました。
今回解いてもらった問題を全て理解することができるれば
他の問題に関しても
ちょっと思考を変えるだけで解くことができるはずです。
まずは今回の10問を完璧にしておきましょう！
慣れてくるとパズルを解くような感覚で面白いですよ(^^)
さぁ、たっくさん問題演習して理解を深めていこう。
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