【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説！

今回は『三平方の定理』という単元を

基礎から解説していきます。

三平方の定理は、いつ習う？

学校によって多少の違いはありますが

大体は3年生の3学期に学習します。

中3の終盤に学習するにも関わらず

入試にはバンバンと出題されてきます。

入試に出てきたけど

習ったばかりで理解が浅かった…

と、ならないように

早めに学習して理解を深めておきましょうね。

では、三平方の定理の基本公式

解説していくよ～！

三平方の定理とは

三平方の定理とは、直角三角形において

斜辺の長さの2乗は、他の辺の長さの2乗の和に等しくなる。

というものです。

文章だけでは、難しく見えますが

非常に単純な定理です。

このように

斜辺の2乗の数と

他の辺を2乗して足した数が等しくなるのです。

直角三角形であれば、必ずこうなります。

では、この定理を使うと

どんな場面で役に立つかというと

このように

直角三角形の2辺の長さがわかっていて

残り1辺の長さを求めたいときに本領を発揮します。

三平方の定理に当てはめてみると

このような関係の式が作れます。

あとは、この方程式を解いていきましょう。

$$x^2=9^2+12^2$$

$$x^2=81+144$$

$$x^2=225$$

$$x=\pm 15$$

\(x>0\)なので

(長さを求めてるんだからマイナスはありえないよね)

$$x=15$$

このようにxの長さは15㎝だと求めることができました！

めちゃめちゃ便利な公式だよね

長さを調べるのに、ものさしがいらないなんて！

それでは、三平方の定理に慣れるために

いくつかの練習問題に挑戦してみましょう。

演習問題で理解を深める！

次の図のxの値を求めなさい。

（1）答えはこちら

三平方の定理に当てはめてみると

あとは計算あるのみ

$$x^2=6^2+8^2$$

$$x^2=36+64$$

$$x^2=100$$

$$x=\pm 10$$

\(x>0\)なので

$$x=10$$

 

（1）答え

$$10cm$$

（2）答えはこちら

こちらも三平方の定理に当てはめていくのですが

斜辺の場所に、ちょっと注意です。

斜辺は直角の向かいにある辺のことだからね！

斜辺は斜めになっている辺…と覚えてしまうと

ワケがわからなくなってしまうから気を付けてね。

 

では、あとは方程式を解いていきましょう。

$$9^2=x^2+7^2$$

$$81=x^2=49$$

$$x^2=81-49$$

$$x^2=32$$

$$x=\pm \sqrt{ 32 }$$

$$x=\pm 4\sqrt{2}$$

\(x>0\)なので

$$x=4\sqrt{2}$$

 

（2）答え

$$x=4\sqrt{2}$$

特別な直角三角形

では、三平方の定理はもうバッチリかな？

この単元では、直角三角形がメインとして扱われているんだけど

そんな直角三角形の中でも

特別な存在として君臨するものがあります。

それがコイツら！

三角定規として使ってきた三角形ですね。

なぜコイツらが特別扱いをされているかというと

このような辺の長さの比になることがわかっているんですね。

辺の長さの比がわかるということは

このように1辺だけでも長さが分かれば

比をとってやることで

残り2辺の長さを求めることができます。

もちろん

\(1:1:\sqrt{2}\)や\(1:2:\sqrt{3}\)という比は覚えておく必要があるからね。

しっかりと覚えておこう！

では、特別な直角三角形において

比を使いながら辺の長さを求める練習をしていきましょう。

演習問題で理解を深める！

次の図のxの値を求めなさい。

（1）答えはこちら

45°、45°、90°の直角三角形の比は

\(1:1:\sqrt{2}\)でしたね。

辺の比を利用して式を作って計算していきます。

$$\sqrt{2}:1=4:x$$

$$\sqrt{2}x=4$$

$$x=\frac{4}{\sqrt{2}}$$

$$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

$$x=2\sqrt{2}$$

 

（1）答え

$$x=2\sqrt{2} cm$$

（2）答えはこちら

30°、60°、90°の直角三角形の比は

\(1:2:\sqrt{3}\)でしたね。

辺の比を利用して式を作って計算していきます。

$$\sqrt{3}:2=x:8$$

$$2x=8\sqrt{3}$$

$$x=4\sqrt{3}$$

 

（2）答え

$$x=4\sqrt{3} cm$$

三平方の定理　基本公式まとめ

お疲れ様でした！

これで三平方の定理の基本はバッチリです。

三平方の定理とは

直角三角形の長さを求めることができる便利な定理です。

そして、直角三角形の中には

特別な存在の三角形があります。

これらの直角三角形では、辺の比を利用して長さを求めることができます。

さぁ、三平方の定理はここからがスタートです！

新たな問題がどんどんと出てくるので

いろんな状況での利用の仕方を学んでいきましょう！

ファイトだー(/・ω・)/