【中3相似】中点連結定理、三等分の三角形求め方を問題解説!

今回は中3で学習する

『相似な図形』の単元から

中点連結定理を利用した問題について解説していきます。

 

特に、三角形を三等分するような問題がよく出題されているので

それを取り上げて、基礎から解説していきます。

 

ちなみに

相似な図形の他記事についてはこちら

【中3数学】相似の基本性質をわかりやすく問題解説!

2017.11.14

【中3数学】相似な図形の見つけ方、相似条件とは?基本問題を使って解説!

2017.11.15

【相似】平行線と比の利用、辺の長さを求める方法をまとめて問題解説!

2017.11.16

基礎が不安な方は参考にしてみてくださいね。

 

それでは、中点連結定理いってみましょー!

スポンサーリンク

中点連結定理とは

中点連結定理とは?

難しそうな名前ですが、実は単純な話です。

中点(真ん中の点)を

連結(つなげる)すると

どんな特徴がある?

 

これが中点連結定理の意味です。

そして、中点を連結するとこのような特徴があります。

連結してできたMNの辺は

BCと平行になり、長さはBCの半分になるという特徴があります。

 

これを中点連結定理といいます。

中点を連結したら

『平行になって、長さが半分になる』

コレだけです。

 

ちょっと具体的に見てみるとこんな感じです。

MNの長さはBCの半分になるので

$$\frac{1}{2}\times10=5cm$$

 

 

 

長さを半分にするだけです。

そんなに難しい話ではないですよね。

 

それでは、よく出題される三等分の問題について解説していきます。

スポンサーリンク

三角形を三等分した問題の解説!

ADを三等分した点をF、Eとする。BC=CD、GF=5㎝のとき、BGの長さを求めなさい。

いろんな三角形が重なっていて複雑そうに見えますね。

まずは、△ACEに着目します。

するとGとFはそれぞれの辺の中点なので

中点連結定理が使えます。

(GがACの中点になる理由は後ほど説明します)

すると

$$CE=GF\times2=5\times2=10cm$$

と求めることができます。

 

次に△FBDに着目すると

こちらもCとEはそれぞれの中点になっているので

中点連結定理より

$$BF=CE\times2=10\times2=20cm$$

これでBFの長さが求まりました。

 

求めたいBGの長さは

$$BG=BF-GF=20-5=15cm$$

このように求めることができます。

 

三角形を三等分するような問題では

2つの三角形に着目して

中点連結定理を使ってやると求めることができます。

 

長さを求める順番はこんなイメージです。

中点連結定理を使って

GF⇒CE⇒BF⇒BG

このように辿って求めていきます。

計算は辺の長さを2倍していくだけなんで

考え方がわかれば、すっごく簡単ですね!

 

最後に、なぜGがACの中点になるのか説明しておきます。

問題が解ければ、それでいいやっ!

っていう人は読み飛ばしてもらっても良いです。

…ほんとはちゃんと理解してほしいけど(-“-)笑

 

GがACの中点になる理由

まず△FBDに着目してみると

CはBDの中点、EはFDの中点なので

中点連結定理より

BF//CE…①だということがわかります。

①よりGF//CE…②も言えますね。

 

そうすると

②より△AGFと△ACEは相似であるとわかります。

よってAG:GC=AF:FE=1:1…③

③よりGはACの中点であるとわかりました。

 

一度理解しておけば、あとは当たり前のように

中点になるんだなって使ってもらってOKです。

 

練習問題で理解を深める!

それでは、三等分問題を練習して理解を深めていきましょう。

問題

下の図で、xの値を求めなさい。

 

答えはこちら

中点連結定理を使って長さを求めていくと

このように求めることができます。

するとxの値は

$$x=28-7=21cm$$

 

問題

下の図で、xの値を求めなさい。

 

答えはこちら

中点連結定理を使って長さを求めていくと

このように求めることができます。

するとxの値は

$$x=28-7=21cm$$

中点連結定理 まとめ

中点を連結させると

平行で、長さが半分になる!

コレだけしっかりと覚えておきましょう。

 

 

問題文の中に、○等分やAB=BCのように

中点をイメージする言葉が入っているときには

中点連結定理の使いどころです。

 

あ!中点連結定理だ!

って気づくことができれば楽勝な問題です。

入試にもよく出される定理なので

練習を重ねて必ず解けるようにしておきましょう!

ファイトだー!

 

スポンサーリンク

夏休みをどのように過ごすかで

あなたのレベルは大きく左右されます。

 

夏休みは頑張るぞ!

という方はこちらの記事を参考にしてみてください(^^)

【中1数学】夏休みにやる勉強とは?2学期に苦労しないためには…

2018.07.14

【中2数学】夏休みにやるべき勉強とは?2学期の強敵に備えろ!

2018.07.14

【中3数学】夏休みにやるべき勉強とは?塾講師がアドバイス!

2018.07.14

2 件のコメント

  • ゆい より:

    2問目の問いの答えが違うと思います。

    • 数スタ運営者 より:

      ご丁寧にご指摘ありがとうございました!
      問題文の長さを変更させてもらいました。

  • コメントを残す

    メールアドレスが公開されることはありません。