【中3相似】中点連結定理、三等分の三角形求め方を問題解説!

今回は中3で学習する

『相似な図形』の単元から

中点連結定理を利用した問題について解説していきます。

 

特に、三角形を三等分するような問題がよく出題されているので

それを取り上げて、基礎から解説していきます。

 

ちなみに

相似な図形の他記事についてはこちら

【中3数学】相似の基本性質をわかりやすく問題解説!

【中3数学】相似な図形の見つけ方、相似条件とは?基本問題を使って解説!

【相似】平行線と比の利用、辺の長さを求める方法をまとめて問題解説!

基礎が不安な方は参考にしてみてくださいね。

 

それでは、中点連結定理いってみましょー!

中点連結定理とは

中点連結定理とは?

難しそうな名前ですが、実は単純な話です。

中点(真ん中の点)を

連結(つなげる)すると

どんな特徴がある?

 

これが中点連結定理の意味です。

そして、中点を連結するとこのような特徴があります。

連結してできたMNの辺は

BCと平行になり、長さはBCの半分になるという特徴があります。

 

これを中点連結定理といいます。

中点を連結したら

『平行になって、長さが半分になる』

コレだけです。

 

ちょっと具体的に見てみるとこんな感じです。

MNの長さはBCの半分になるので

$$\frac{1}{2}\times10=5cm$$

 

 

 

長さを半分にするだけです。

そんなに難しい話ではないですよね。

 

それでは、よく出題される三等分の問題について解説していきます。

三角形を三等分した問題の解説!

ADを三等分した点をF、Eとする。BC=CD、GF=5㎝のとき、BGの長さを求めなさい。

いろんな三角形が重なっていて複雑そうに見えますね。

まずは、△ACEに着目します。

するとGとFはそれぞれの辺の中点なので

中点連結定理が使えます。

(GがACの中点になる理由は後ほど説明します)

すると

$$CE=GF\times2=5\times2=10cm$$

と求めることができます。

 

次に△FBDに着目すると

こちらもCとEはそれぞれの中点になっているので

中点連結定理より

$$BF=CE\times2=10\times2=20cm$$

これでBFの長さが求まりました。

 

求めたいBGの長さは

$$BG=BF-GF=20-5=15cm$$

このように求めることができます。

 

三角形を三等分するような問題では

2つの三角形に着目して

中点連結定理を使ってやると求めることができます。

 

長さを求める順番はこんなイメージです。

中点連結定理を使って

GF⇒CE⇒BF⇒BG

このように辿って求めていきます。

計算は辺の長さを2倍していくだけなんで

考え方がわかれば、すっごく簡単ですね!

 

最後に、なぜGがACの中点になるのか説明しておきます。

問題が解ければ、それでいいやっ!

っていう人は読み飛ばしてもらっても良いです。

…ほんとはちゃんと理解してほしいけど(-“-)笑

 

GがACの中点になる理由

まず△FBDに着目してみると

CはBDの中点、EはFDの中点なので

中点連結定理より

BF//CE…①だということがわかります。

①よりGF//CE…②も言えますね。

 

そうすると

②より△AGFと△ACEは相似であるとわかります。

よってAG:GC=AF:FE=1:1…③

③よりGはACの中点であるとわかりました。

 

一度理解しておけば、あとは当たり前のように

中点になるんだなって使ってもらってOKです。

 

練習問題で理解を深める!

それでは、三等分問題を練習して理解を深めていきましょう。

問題

下の図で、xの値を求めなさい。

 

答えはこちら

中点連結定理を使って長さを求めていくと

このように求めることができます。

するとxの値は

$$x=28-7=21cm$$

 

問題

下の図で、xの値を求めなさい。

 

答えはこちら

中点連結定理を使って長さを求めていくと

このように求めることができます。

するとxの値は

$$x=28-7=21cm$$

中点連結定理 まとめ

中点を連結させると

平行で、長さが半分になる!

コレだけしっかりと覚えておきましょう。

 

 

問題文の中に、○等分やAB=BCのように

中点をイメージする言葉が入っているときには

中点連結定理の使いどころです。

 

あ!中点連結定理だ!

って気づくことができれば楽勝な問題です。

入試にもよく出される定理なので

練習を重ねて必ず解けるようにしておきましょう!

ファイトだー!

 

 

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2 件のコメント

  • ゆい より:

    2問目の問いの答えが違うと思います。

    • 数スタ運営者 より:

      ご丁寧にご指摘ありがとうございました!
      問題文の長さを変更させてもらいました。

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