【正三角形の角度】正方形、ひし形との融合問題を解説!

今回は、正三角形の角度を求める問題について解説していくよ!

 

正三角形の性質はとってもシンプルなんだけど

角度を求める問題になると

 

むずいかも…

と、なってしまいがちなので

今回は正三角形の角度を求める問題を

厳選した4パターンで徹底解説していきます!

 

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覚えておきたい正三角形の性質

  • 3辺がすべて等しい
  • 3つの角がすべて60°

 

この2つの性質をしっかりと覚えておいてください。

 

角度の問題なんだけど

『3辺がすべて等しい』

という辺に関する性質も使っていくからね!

忘れないように頭に入れておこう。

 

厳選4パターンの問題に挑戦!

それでは、正三角形の角度を求める問題をパターン別に解説していきます。

 

正三角形の基本パターン

△ABCが正三角形のとき、\(∠x, ∠y\)の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$∠x=25°$$

$$∠y=95°$$

正三角形の角は60°という性質を利用すれば

\(x\)の角は

$$x=60-35=25°$$

と求めることができます。

 

そして、外角の性質を利用すれば

\(y\)の大きさは

$$∠y=35+60=95°$$

と求めることができます。

 

正三角形の角が60°になるということを覚えておけば大丈夫な問題でしたね!

 

正三角形の融合パターン

△ABC、△ADEが正三角形のとき、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$∠x=35°$$

まず、△ABCの正三角形に注目すると

1つの角は60°になることから

赤い部分が35°になることがわかります。

 

次は△ADEの正三角形に注目すると

赤い部分が25°になることがわかります。

そして、△ACEに注目して

三角形の内角の和が180°になるということから

$$x=180-(120+25)=35°$$

と求めることができます。

 

正三角形が重なっている場合には

それぞれの角が60°になっていることを意識して

少しずつ\(x\)の角に近づくように

いろんな角を求めていきましょう。

 

正方形との融合パターン

四角形ABCDは正方形、△BCEは正三角形のとき、\(∠x, ∠y\)の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$∠x=75°$$

$$∠y=150°$$

 

正三角形と正方形の融合問題を考えるときには

辺の関係性がとても重要です。

では、この図形において

どの部分が同じ長さになっているか考えてみましょう。

△EBCは正三角形なので、赤い部分はすべて同じ長さになります。

$$EB=BC=CE$$

 

四角形ABCDは正方形なので、青い部分はすべて同じ長さになります。

$$AB=BC=CD=DA$$

 

そして、この2つの特徴を組み合わせると

$$AB=BC=CD=DA=EB=CE$$

同じ長さになるとことがたくさんある!ということがわかります。

 

すると

△ABEと△ECDは二等辺三角形になっているということに気づきますね。

このことを利用して、角の大きさを考えていきます。

 

正方形の角は90°になるので

△ABEの頂角は30°になることがわかります。

そして、\(∠x\)は△ABEの底角なので

$$180-30=150$$

$$x=150\div 2 =75°$$

 

\(x\)の大きさがわかったら

次は△AEDに注目します。

すると、\(∠DAE,∠ADE\)はそれぞれ\(15°\)とわかるので

$$y=180-(15+15)=150°$$

とわかりました。

 

正三角形と正方形の融合問題では

辺の大きさが等しいところを見つけていくと

二等辺三角形が見つかるので

そこをヒントに角度を求めていくと良いです(^^)

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ひし形との融合パターン

四角形ABCDはひし形、△BCEは正三角形のとき、\(∠x\)の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$∠x=74°$$

まずはこの問題を解くために

ひし形の性質を復習しておきましょう。

今回問題の中で利用していく性質は

『辺の大きさがすべて等しい』

『対角の大きさが等しい』

『対辺がそれぞれ平行』

 

 

それでは以上3点を頭に入れておいて

問題を見ていきましょう。

 

まず、AB//DCより錯角は等しくなるので

\(∠BAE=83°\)となります。

 

 

次にひし形、正三角形の性質から

辺の長さが等しいところが、このように見つかります。

すると△ABEは二等辺三角形になることがわかります。

よって、△ABEに注目すると

それぞれの角はこのようになります。

 

∠Bの大きさが74°とわかりました。

ひし形の対角は同じ大きさになることから

 

 

$$∠x=74°$$

となります。

 

 

ひし形と正三角形の融合問題は少し難しめですが

ひし形の3つの性質を覚えておけば大丈夫!

しっかりと覚えておきましょう。

 

正三角形の角度問題 まとめ

お疲れ様でした!

正三角形の性質としては

このように単純な性質しかないので

問題としては、いろんな図形との融合で出題されがちです。

 

 

  • 正三角形どうしの融合の場合

60°の角になるところをしっかりと見つけていくこと

 

  • 正方形との融合の場合

同じ長さになるところを見つけて、二等辺三角形を利用する

 

  • ひし形との融合の場合

ひし形の性質を利用しながら考えていく

 

 

これらのポイントをしっかりと覚えておいてくださいね!

正三角形の角度をマスターしたら

次は二等辺三角形にも挑戦してみましょう!

二等辺三角形の角度の求め方を問題を使って徹底解説!

2017.12.05

 

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