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【接線と弦のつくる角の定理】問題の解き方、証明をサクッと解説!

今回は高校数学Aで学習する

「円の接線と弦の作る角」

についてサクッと解説していきます。

 

円の接線と弦の作る角とは、

接弦定理とも呼ばれ、次のような定理のことです。

接線と弦のつくる角の定理とは?

【接線と弦のつくる角の定理】

円の接線とその接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しくなる。

うーん…説明だけを見ても

何を言っているのかサッパリ分かりませんね(^^;)

 

図を見ながらイチから解説していきますね。

まずは、円と接線があったとき

 

次に、接点を通る弦を引いてみます。

このとき、接線と弦のなす角ができますね。

この角を含む弧に対する円周角を考えます。

すると、この2つの角は同じ大きさになっているのです。

これが円の接線と弦のつくる角の定理です。

 

イメージとしては

接点にピタッと内接している三角形は

クロスする位置の角が同じだ!

って感じで覚えてもらえるといいかと思います(^^)

接線と弦のつくる角の定理の証明

では、なぜこのような定理が成り立つのか。

簡単に確認しておきましょう!

 

なぜ、次のような位置にある角の大きさが等しくなるのでしょうか。

 

これを考えるには、まず

接点から、直径になるように線を引いて

下の図のような三角形を考えます。

 

すると、次の図のように

90°の角、円周角の定理によって同じ大きさの角が見つかりますね。

 

すると…

こんな感じで計算ができるので

クロスする位置にある角は同じ値になることが分かりましたね(^^)

 

接線と弦のつくる角【問題】

【問題】

次の図で、\(x\)の大きさを求めなさい。ただし、直線は円に接している。

解説&答えはこちら

【答え】

$$30°$$

クロスする位置が等しくなるでしたね!

 

【問題】

次の図で、\(x\)の大きさを求めなさい。ただし、直線は円に接している。

解説&答えはこちら

【答え】

$$30°$$

このままでは定理が使えないので、補助線を引いてから考えましょう。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最後にもう1度、円の接線と弦のつくる角の定理を確認しておきましょう。

【接線と弦のつくる角の定理】

円の接線とその接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しくなる。

うん、文で確認するとややこしすぎるw

 

なので、図でイメージできるようにしておけばOK。

クロスするとことが同じ!

 

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