【平方根】分母の有理化のやり方はこれでバッチリ！

今回は『分母の有理化』について解説していくよ！

有理化っていうのは

ルートの計算をやっていく上で

すっごく大切な式変形になるから

この記事を通して、しっかりとマスターしていこう！

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

分母の有理化ってなに？？

分母にルートの数があるとき

これにある式変形をすることで

ルートをなくしてしまう

つまり、無理数を有理数に変形する

これを分母の有理化といいます。

それじゃぁ

どんな式変形をすれば、ルートを消すことができるのかというと

ここでルートの特徴を思い出してもらいたい。

このようにルートは2乗すると

中身が出てくるんでしたね！

この性質を利用して

分母にあるルートを分母・分子の両方に掛けることで

分母にあったルートをなくして、有理数に変形することができます。

なんで、分母と分子の両方に掛けないといけないかって？？

それはね

分数の特徴を使っているんだよ！

分数というのは、分母と分子の両方に同じ数を掛けるのであれば

大きさは変わらないという特徴があったよね！

だから、分母と分子の両方に同じルートを掛けることで

分数の大きさを変えることなく

見た目だけをチェンジすることができるってわけ！

分母の有理化をやってみよう！

それでは、いくつかの例題を通して

分母の有理化の特徴を身につけていきましょう！

この分数を有理化したい場合

分母にある\(\sqrt{3}\)を分母と分子の両方に掛けていきましょう。

$$\Large{\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{6\sqrt{3}}{3}}$$

よしゃー！できたーっ！

と、油断しないでください。

ちゃんと約分もしてやって

$$\Large{=2\sqrt{3}}$$

ここまで持っていきましょう。

分母の有理化をすると、約分が出来る場合も多いので

最後まで油断しないようにね！

この分数を有理化する場合には

\(\sqrt{12}\)をそのまま掛けてしまってもいいのですが

$$\Large{\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

このように\(\sqrt{12}\)の中身を簡単にしてやることで

分数全体をスッキリとさせることができます。

分数をここまで変形してから、有理化をしていきましょう！

$$\Large{\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

こちらの分数も、分母のルートを簡単にできるので

まずはルートの中身を整理していきましょう。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}$$

ここから分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきます。

分母には3という数もありますが

有理化をするために、掛けるのはルートだけでOKです。

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{3\times 2}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{6}}$$

このように分子が多項式になっている場合でも

有理化のやり方は同じです！

分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきましょう。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}}$$

$$\Large{=\frac{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$

分配法則を使って、\(\sqrt{2}\)を\(\sqrt{3}+2\)のそれぞれに掛けていきます。

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}}$$

これで完成！

分母に2つの項があるときの有理化

ここからは高校生で学習する範囲になってきますが

考え方はとてもシンプルなので、中学生の方もぜひ挑戦してみましょう！

$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$

このように分母に2つの項がある場合には

どのように有理化をしていけば良いのか考えていきましょう。

先ほどと同じように

分母にあるルートを掛けるという方法では

$$\Large{\frac{1\times \sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$$

あれ…分母にルートが残っちゃいますね。

ということで、分母に2つの項があるときには

別の方法で有理化をしていく必要があります。

ここで、役に立つのが

乗法公式である次の式です。

$$\LARGE{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$

\(\sqrt{3}+2\)に対して、2の符号を変えた\(\sqrt{3}-2\)を掛けることで

$$\Large{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

$$\Large{=(\sqrt{3})^2-2^2}$$

$$\Large{=3-4}$$

$$\Large{=-1}$$

このように2つの項からルートを消すことに成功しました。

ということで、これを利用して有理化をしていきます。

$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$

$$\Large{=\frac{1\times (\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}}$$

$$\Large{=-\sqrt{3}+2}$$

では、例題を通して理解を深めていきましょう！

分母が両方ともルートの形になっていても考え方は同じです！

\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)を分母・分子に掛けて有理化をしていきます。

$$\Large{\frac{2\times (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}$$

$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}}$$

$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}$$

$$\Large{=\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$

これで分母に2つの項があっても

有理化はバッチリですね！！

それでは…

分母に3つの項があったらどうしますか！？

$$\LARGE{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$

分母に3つの項があるときの有理化

分母に3つの項があるときの有理化は

先ほど紹介した2つのときと同じ考え方をします。

$$\Large{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

$$\Large{=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}$$

このように、3つあった項を

\((\sqrt{2}+\sqrt{3})\)と\(\sqrt{5}\)

というように項をくっつけて考えることで

2つの項にしていまいます。

よって、\((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\)を掛けることで有理化をしていきます。

$$\frac{1\times\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}}$$

ここまできたら、最初に練習した有理化を進めていきましょう。

$$\large{=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times \sqrt{6}}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\times 6}}$$

$$\large{=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}}$$

分母に3つの項があるときには

2つの項をくっつけて、全体を2つの項だと考えて有理化をしていきましょう。

まとめ

お疲れ様でした！

これで分母の有理化はバッチリです(^^)

あとは、たくさん問題演習をこなして

理解を深めていきましょう！

以上！

平方根の計算をマスターしたい方はこちらの記事もどうぞ！

＞＞＞【平方根】ルートの計算方法まとめ！問題を使って徹底解説！

【追記】分母の項が２つのとき、マイナスだったら？

このようなコメントをいただきましたので、例題を紹介しておきます。

分母に2つの項があるときには、1つの項の符号をチェンジしたものを掛ける！

というのがポイントです。

つまり、今回の\((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) に対しては、\((\sqrt{3}+\sqrt{2})\) を掛けましょう。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\[5pt]&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{eqnarray}$$

もしも、分母が…

\(\sqrt{5}-1\) だったら、\(\sqrt{5}+1\) を掛ける。

\(-\sqrt{5}-\sqrt{2}\) だったら、\(-\sqrt{5}+\sqrt{2}\) を掛ける。

こんな感じだね！