今回は『分母の有理化』について解説していくよ！
有理化っていうのは
ルートの計算をやっていく上で
すっごく大切な式変形になるから
この記事を通して、しっかりとマスターしていこう！
Contents
分母の有理化ってなに？？
分母にルートの数があるとき
これにある式変形をすることで
ルートをなくしてしまう
つまり、無理数を有理数に変形する
これを分母の有理化といいます。
それじゃぁ
どんな式変形をすれば、ルートを消すことができるのかというと
ここでルートの特徴を思い出してもらいたい。
このようにルートは2乗すると
中身が出てくるんでしたね！
この性質を利用して
分母にあるルートを分母・分子の両方に掛けることで
分母にあったルートをなくして、有理数に変形することができます。
なんで、分母と分子の両方に掛けないといけないかって？？
それはね
分数の特徴を使っているんだよ！
分数というのは、分母と分子の両方に同じ数を掛けるのであれば
大きさは変わらないという特徴があったよね！
だから、分母と分子の両方に同じルートを掛けることで
分数の大きさを変えることなく
見た目だけをチェンジすることができるってわけ！
$$\large{\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
分母の有理化をやってみよう！
それでは、いくつかの例題を通して
分母の有理化の特徴を身につけていきましょう！
例題１
次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。
$$\Large{\frac{6}{\sqrt{3}}}$$
この分数を有理化したい場合
分母にある\(\sqrt{3}\)を分母と分子の両方に掛けていきましょう。
$$\Large{\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$
$$\Large{=\frac{6\sqrt{3}}{3}}$$
よしゃー！できたーっ！
と、油断しないでください。
ちゃんと約分もしてやって
$$\Large{=2\sqrt{3}}$$
ここまで持っていきましょう。
分母の有理化をすると、約分が出来る場合も多いので
最後まで油断しないようにね！
例題2
次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。
$$\Large{\frac{4}{\sqrt{12}}}$$
この分数を有理化する場合には
\(\sqrt{12}\)をそのまま掛けてしまってもいいのですが
$$\Large{\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}}$$
$$\Large{=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
このように\(\sqrt{12}\)の中身を簡単にしてやることで
分数全体をスッキリとさせることができます。
分数をここまで変形してから、有理化をしていきましょう！
$$\Large{\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$
$$\Large{=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$
例題3
次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。
$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}}$$
こちらの分数も、分母のルートを簡単にできるので
まずはルートの中身を整理していきましょう。
$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}$$
ここから分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきます。
分母には3という数もありますが
有理化をするために、掛けるのはルートだけでOKです。
$$\Large{=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$
$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{3\times 2}}$$
$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{6}}$$
例題4
次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。
$$\Large{\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}}$$
このように分子が多項式になっている場合でも
有理化のやり方は同じです！
分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきましょう。
$$\Large{\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}}$$
$$\Large{=\frac{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$
分配法則を使って、\(\sqrt{2}\)を\(\sqrt{3}+2\)のそれぞれに掛けていきます。
$$\Large{=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}}$$
これで完成！
分母に2つの項があるときの有理化
ここからは高校生で学習する範囲になってきますが
考え方はとてもシンプルなので、中学生の方もぜひ挑戦してみましょう！
$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$
このように分母に2つの項がある場合には
どのように有理化をしていけば良いのか考えていきましょう。
先ほどと同じように
分母にあるルートを掛けるという方法では
$$\Large{\frac{1\times \sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{3}}}$$
$$\Large{=\frac{\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$$
あれ…分母にルートが残っちゃいますね。
ということで、分母に2つの項があるときには
別の方法で有理化をしていく必要があります。
ここで、役に立つのが
乗法公式である次の式です。
$$\LARGE{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$
\(\sqrt{3}+2\)に対して、2の符号を変えた\(\sqrt{3}-2\)を掛けることで
$$\Large{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$
$$\Large{=(\sqrt{3})^2-2^2}$$
$$\Large{=3-4}$$
$$\Large{=-1}$$
このように2つの項からルートを消すことに成功しました。
ということで、これを利用して有理化をしていきます。
$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$
$$\Large{=\frac{1\times (\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}}$$
$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}}$$
$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}}$$
$$\Large{=-\sqrt{3}+2}$$
$$\large{\frac{c}{\sqrt{a}+b}=\frac{c\times (\sqrt{a}-b)}{(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)}}$$
このように分母の多項式が
$$\large{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$
の関係になるように、分母と分子に掛けて有理化をしていきます。
では、例題を通して理解を深めていきましょう！
例題1
$$\Large{\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$$
分母が両方ともルートの形になっていても考え方は同じです！
\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)を分母・分子に掛けて有理化をしていきます。
$$\Large{\frac{2\times (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}$$
$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}}$$
$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}$$
$$\Large{=\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$
これで分母に2つの項があっても
有理化はバッチリですね！！
それでは…
分母に3つの項があったらどうしますか！？
$$\LARGE{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$
分母に3つの項があるときの有理化
分母に3つの項があるときの有理化は
先ほど紹介した2つのときと同じ考え方をします。
$$\Large{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$
$$\Large{=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}$$
このように、3つあった項を
\((\sqrt{2}+\sqrt{3})\)と\(\sqrt{5}\)
というように項をくっつけて考えることで
2つの項にしていまいます。
よって、\((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\)を掛けることで有理化をしていきます。
$$\frac{1\times\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}$$
$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}}$$
$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}}$$
$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}}$$
ここまできたら、最初に練習した有理化を進めていきましょう。
$$\large{=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times \sqrt{6}}}$$
$$\large{=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\times 6}}$$
$$\large{=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}}$$
分母に3つの項があるときには
2つの項をくっつけて、全体を2つの項だと考えて有理化をしていきましょう。
まとめ
お疲れ様でした！
これで分母の有理化はバッチリです(^^)
あとは、たくさん問題演習をこなして
理解を深めていきましょう！
分母の項が1つのとき
$$\large{\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}}$$
分母の項が2つのとき
$$\large{\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}$$
$$\large{=\frac{c\times (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}}$$
分母の項が3つのとき
$$\large{\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}}$$
以上！
平方根の計算をマスターしたい方はこちらの記事もどうぞ！
＞＞＞【平方根】ルートの計算方法まとめ！問題を使って徹底解説！
【追記】分母の項が２つのとき、マイナスだったら？
このようなコメントをいただきましたので、例題を紹介しておきます。
$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$$
分母に2つの項があるときには、1つの項の符号をチェンジしたものを掛ける！
というのがポイントです。
つまり、今回の\((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) に対しては、\((\sqrt{3}+\sqrt{2})\) を掛けましょう。
$$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\[5pt]&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{eqnarray}$$
もしも、分母が…
\(\sqrt{5}-1\) だったら、\(\sqrt{5}+1\) を掛ける。
\(-\sqrt{5}-\sqrt{2}\) だったら、\(-\sqrt{5}+\sqrt{2}\) を掛ける。
こんな感じだね！
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分母の項が2つのとき問題がマイナスだった場合どうすればいいですか？
コメントありがとうございます。
記事下に、追記としてお返事しております。
疑問は解決されましたでしょうか？？