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【平方根】分母の有理化のやり方はこれでバッチリ!

今回は『分母の有理化』について解説していくよ!

 

有理化っていうのは

ルートの計算をやっていく上で

すっごく大切な式変形になるから

この記事を通して、しっかりとマスターしていこう!

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分母の有理化ってなに??

分母にルートの数があるとき

 

 

これにある式変形をすることで

ルートをなくしてしまう

 

 

つまり、無理数を有理数に変形する

これを分母の有理化といいます。

 

 

 

それじゃぁ

どんな式変形をすれば、ルートを消すことができるのかというと

ここでルートの特徴を思い出してもらいたい。

 

このようにルートは2乗すると

中身が出てくるんでしたね!

 

 

この性質を利用して

分母にあるルートを分母・分子の両方に掛けることで

分母にあったルートをなくして、有理数に変形することができます。

 

 

なんで、分母と分子の両方に掛けないといけないかって??

 

 

それはね

分数の特徴を使っているんだよ!

分数というのは、分母と分子の両方に同じ数を掛けるのであれば

大きさは変わらないという特徴があったよね!

 

 

だから、分母と分子の両方に同じルートを掛けることで

分数の大きさを変えることなく

見た目だけをチェンジすることができるってわけ!

 

 

有理化のやり方
分母にあるルートを、分母と分子の両方に掛ける

$$\large{\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

分母の有理化をやってみよう!

それでは、いくつかの例題を通して

分母の有理化の特徴を身につけていきましょう!

 

例題1

次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。

$$\Large{\frac{6}{\sqrt{3}}}$$

 

この分数を有理化したい場合

分母にある\(\sqrt{3}\)を分母と分子の両方に掛けていきましょう。

$$\Large{\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{6\sqrt{3}}{3}}$$

よしゃー!できたーっ!

と、油断しないでください。

ちゃんと約分もしてやって

$$\Large{=2\sqrt{3}}$$

ここまで持っていきましょう。

 

分母の有理化をすると、約分が出来る場合も多いので

最後まで油断しないようにね!

 

例題2

次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。

$$\Large{\frac{4}{\sqrt{12}}}$$

 

この分数を有理化する場合には

\(\sqrt{12}\)をそのまま掛けてしまってもいいのですが

$$\Large{\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

 

このように\(\sqrt{12}\)の中身を簡単にしてやることで

分数全体をスッキリとさせることができます。

 

 

分数をここまで変形してから、有理化をしていきましょう!

$$\Large{\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

 

 

例題3

次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}}$$

 

こちらの分数も、分母のルートを簡単にできるので

まずはルートの中身を整理していきましょう。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}$$

ここから分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきます。

分母には3という数もありますが

有理化をするために、掛けるのはルートだけでOKです。

 

 

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{3\times 2}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}}{6}}$$

 

 

 

例題4

次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}}$$

 

このように分子が多項式になっている場合でも

有理化のやり方は同じです!

 

分母にある\(\sqrt{2}\)を掛けて有理化をしていきましょう。

$$\Large{\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}}$$

$$\Large{=\frac{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}$$

分配法則を使って、\(\sqrt{2}\)を\(\sqrt{3}+2\)のそれぞれに掛けていきます。

$$\Large{=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2}}$$

これで完成!

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分母に2つの項があるときの有理化

ここからは高校生で学習する範囲になってきますが

考え方はとてもシンプルなので、中学生の方もぜひ挑戦してみましょう!

 

$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$

このように分母に2つの項がある場合には

どのように有理化をしていけば良いのか考えていきましょう。

 

先ほどと同じように

分母にあるルートを掛けるという方法では

$$\Large{\frac{1\times \sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)\times \sqrt{3}}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}}$$

 

あれ…分母にルートが残っちゃいますね。

ということで、分母に2つの項があるときには

別の方法で有理化をしていく必要があります。

 

 

ここで、役に立つのが

乗法公式である次の式です。

$$\LARGE{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$

 

 

\(\sqrt{3}+2\)に対して、2の符号を変えた\(\sqrt{3}-2\)を掛けることで

$$\Large{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

$$\Large{=(\sqrt{3})^2-2^2}$$

$$\Large{=3-4}$$

$$\Large{=-1}$$

 

このように2つの項からルートを消すことに成功しました。

ということで、これを利用して有理化をしていきます。

 

$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}+2}}$$

$$\Large{=\frac{1\times (\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}}$$

$$\Large{=-\sqrt{3}+2}$$

 

分母に2つの項があるときの有理化

$$\large{\frac{c}{\sqrt{a}+b}=\frac{c\times (\sqrt{a}-b)}{(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)}}$$

 

このように分母の多項式が

$$\large{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$

の関係になるように、分母と分子に掛けて有理化をしていきます。

 

 

では、例題を通して理解を深めていきましょう!

例題1

$$\Large{\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$$

 

 

分母が両方ともルートの形になっていても考え方は同じです!

\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)を分母・分子に掛けて有理化をしていきます。

 

$$\Large{\frac{2\times (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}$$

$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}}$$

$$\Large{=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}$$

$$\Large{=\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$

 

 

これで分母に2つの項があっても

有理化はバッチリですね!!

 

それでは…

分母に3つの項があったらどうしますか!?

$$\LARGE{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$

 

分母に3つの項があるときの有理化

分母に3つの項があるときの有理化は

先ほど紹介した2つのときと同じ考え方をします。

 

$$\Large{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

$$\Large{=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}$$

 

このように、3つあった項を

\((\sqrt{2}+\sqrt{3})\)と\(\sqrt{5}\)

というように項をくっつけて考えることで

2つの項にしていまいます。

 

 

よって、\((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\)を掛けることで有理化をしていきます。

$$\frac{1\times\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}{\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}\}\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}\}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}}$$

 

ここまできたら、最初に練習した有理化を進めていきましょう。

$$\large{=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times \sqrt{6}}}$$

$$\large{=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\times 6}}$$

$$\large{=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}}$$

 

 

分母に3つの項があるときには

2つの項をくっつけて、全体を2つの項だと考えて有理化をしていきましょう。

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まとめ

お疲れ様でした!

これで分母の有理化はバッチリです(^^)

 

あとは、たくさん問題演習をこなして

理解を深めていきましょう!

 

分母の有理化まとめ

分母の項が1つのとき

$$\large{\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}}$$

 

分母の項が2つのとき

$$\large{\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}$$

$$\large{=\frac{c\times (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}}$$

 

分母の項が3つのとき

$$\large{\frac{d}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}}$$

$$=\frac{d\times \{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}{\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}\}\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}}$$

 

 

 

以上!

平方根の計算をマスターしたい方はこちらの記事もどうぞ!

>>>【平方根】ルートの計算方法まとめ!問題を使って徹底解説!

 

【追記】分母の項が2つのとき、マイナスだったら?

分母の項が2つのとき問題がマイナスだった場合どうすればいいですか?

このようなコメントをいただきましたので、例題を紹介しておきます。

次の数を変形して、分母にルートがない形にしなさい。

$$\Large{\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$$

分母に2つの項があるときには、1つの項の符号をチェンジしたものを掛ける!

というのがポイントです。

つまり、今回の\((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) に対しては、\((\sqrt{3}+\sqrt{2})\) を掛けましょう。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\[5pt]&=&\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\[5pt]&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{eqnarray}$$

 

もしも、分母が…

\(\sqrt{5}-1\) だったら、\(\sqrt{5}+1\) を掛ける。

\(-\sqrt{5}-\sqrt{2}\) だったら、\(-\sqrt{5}+\sqrt{2}\) を掛ける。

こんな感じだね!

 

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2 件のコメント

  • 蜂谷彩良 より:

    分母の項が2つのとき問題がマイナスだった場合どうすればいいですか?

    • 数スタ運営者 より:

      コメントありがとうございます。
      記事下に、追記としてお返事しております。
      疑問は解決されましたでしょうか??

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