この記事では、高校入試に出題された作図問題の解き方を解説していきます。
数学の入試問題では
作図は必ずと言ってもいいくらい出題される
必須の問題ですね！
しっかりと対策しておけば
得点源にすることができる単元でもあるので
この記事を通して、作図問題をマスターしていきましょう！
では、入試問題から抜粋した問題に挑戦してみましょう。
作図の入試問題に挑戦！
下の図の四角形ABCDにおいて、辺ABと辺BCが重なるように折ったときにできる折り目の線と辺ADとの交点をPとします。点Pを定規とコンパスを使って作図しなさい。
この問題のポイントは
辺ABを辺BCに重ねるように折ったときに
どのような折り目ができるかを考えることです。
上の図からわかるように
折り目は∠Bを二等分した線になっています。
よって、∠Bの二等分線を書いて
その線が辺ADとぶつかったところが点Pとなります。
下の図のように、直線lと直線l上にない2点A、Bがあります。直線l上に点Pをとるとき、∠APB＝90°となる点Pのうちの1つを、コンパスと定規を使って作図しなさい。
答え
今回の問題のポイントは
辺ABを直径とする円を考えると
このように90°の角を作図できるということに気づけたかどうかですね。
なんでコレで90°が作れるの？？
という方は円周角の定理を復習しておいてね。
それでは、辺ABを直径とする円を作図するために
まずは円の中心を求めます。
ABの垂直二等分線を作図すれば、円の中心を求めることができます。
中心が求まれば、中心にコンパスの針を置いて
A、Bを通るように円を作図してやりましょう。
そうすれば、円と直線lがぶつかったところが点Pとなります。
正方形の紙の上に点Pがある。この紙から、点Pを中心とする半径が最も大きい円を切り取る。下の図は、正方形の紙と同じ大きさの正方形ABCDをかき、点Pの位置を示したものである。切り取る円を、定規とコンパスを用いて作図しなさい。
答え
半径が最も大きくなるのは
辺BCを接線に持つように円を作図したときになります。
中心と接点を結んだ線は、接線と垂直な関係にあることを考えると
点Pから辺BCに垂線を引いてやることで
接点を求めてやることができます。
接点が求まると
点Pにコンパスの針を置いて、接点を通るように円を作図すれば完成です！
下の図のような正方形ABCDがある。辺BCの中点をMとする。
このとき、線分AMを折り目として折り返したときの点Bの位置を点Pとする。このとき、点Pを作図しなさい。
答え
折り返したときのイメージを考えてみましょう。
すると
AB=AP
BM=PMとなることがわかりますね。
このことから点Pは
点Aを中心とする半径ABとなる円
点Mを中心とするBMを半径とする円を
それぞれ作図することによって見つけることができます。
下の図のような、線分ABを直径とする半円がある。この半円の弧AB上に弧APと弧PBの長さの比が3:1となる点Pをコンパスと定規を使って作図しなさい。
答え
解法のポイント弧の長さを3:1にするということは
中心角の大きさを3:1にすればよいということ。
中心角が3:1になるような線を引くために
ABの垂直二等分線を作図することで
半円の中心を求めます。
中心を求めることができれば
角の二等分線の作図を利用して
このように角を3:1にわけてやれば完成です。
入試の作図問題 まとめ
お疲れ様でした！
全部解けましたか？？
定期テストには出題されないような
ちょっと応用な問題ばかりですが
使っている作図方法は
- 垂直二等分線
- 垂線
- 角の二等分線
この３つの組み合わせによるものばかりです。
しっかりと過去問演習を重ねていけば
本番では必ず解けるようになるはずです。
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