数スタ運営部

中学生向けの英文法サイトを開設!

≫ 中学英語の文法まとめサイト!

【二次関数の決定】式の求め方をパターン別に解説!

今回は、高校数学Ⅰで学習する二次関数の式の作り方について、パターン別に解説していきます!

 

二次関数の式は、問題に与えられている情報によって式の形を使い分けていく必要があります。

この記事を通して、どの式を使えばよいのかを見極めれるようになりましょう!

今回取り上げる問題はこちら!

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ二次関数を求めなさい。

(1)頂点が\((2,3)\)で、\((3,6)\)を通る。

(2)軸が\(x=-1\)で、2点\((0,5),  (2,-3)\)を通る。

(3)3点\((-1,5),  (2,5),  (3,9)\)を通る。

(4)放物線\(y=2x^2\)を平行移動したもので、2点\((1,0),  (-3,0)\)を通る。

(5)放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動したもので、点\((2,3)\)を通り、その頂点は直線\(y=3x-1\)上にある。

(6)\(x=1\)のとき最小値\(2\)をとり、\(x=3\)のとき\(y=6\)となる。

スポンサーリンク

二次関数の決定

二次関数の表し方は以下のようになります。

【一般形】

$$y=ax^2+bx+c$$

【標準形】

$$y=a(x-p)^2+q$$

【分解形】

$$y=a(x-α)(x-β)$$

問題で与えられている情報から、都合の良い式の形を使っていくようになります。

一般形

【一般形】

$$y=ax^2+bx+c$$

問題文で与えられた情報が、3点の座標のみのときにはこちらの式を活用していきます。

標準形

【標準形】

$$y=a(x-p)^2+q$$

問題文で与えられた情報に、頂点や軸といったものがある場合には、こちらの形を活用していきます。

分解形

【分解形】

$$y=a(x-α)(x-β)$$

こちらの分解形は、使う頻度は低めです。

だけど、覚えておくと便利なことも多いから是非覚えておこう!

 

こちらの分解形は、\(x\)軸との交点の座標が与えられたときに活用します。

二次関数の決定、問題解説!

それでは、それぞれの問題の解き方について解説していきます。

(1)頂点パターン

(1)頂点が\((2,3)\)で、\((3,6)\)を通る。

問題文に頂点の情報が与えられているので

$$y=a(x-p)^2+q$$

標準形の形を活用していきます。

 

頂点\((2,3)\)を\(p,  q\)にそれぞれ代入すると

$$y=a(x-2)^2+3$$

という形が作れます。

あとは、\(a\)の値が分かれば式が完成します。

 

ということで、次に

この二次関数は\((3,6)\)を通るから\(x=2,  y=6\)を\(y=a(x-2)^2+3\)に代入してやります。

$$6=a(3-2)^2+3$$

$$6=a+3$$

$$a=3$$

よって、\(a\)の値が分かったので二次関数の式は

$$y=3(x-2)^2+3$$

となります。

 

頂点が与えられている問題では、標準形を活用して頂点の座標を代入。

次に\(a\)の値を求めるため、通る座標を代入。

こういう流れですね!

(2)軸パターン

(2)軸が\(x=-1\)で、2点\((0,5),  (2,-3)\)を通る。

問題文に軸の情報が与えられているので

$$y=a(x-p)^2+q$$

標準形の形を活用していきます。

 

軸が\(x=-1\)ということなので、標準形の\(p\)部分に\(-1\)を代入。

$$y=a(x+1)^2+q$$

一旦、ここまで式を作ることができます。

更に、この式が2点\((0,5),  (2,-3)\)を通るので

それぞれの値を式に代入して、式を2本作ります。

 

すると

$$5=a+q$$

$$-3=9a+q$$

このように\(a,  q\)の2つの文字が残った2本の式が出来上がります。

あとは、これらを連立方程式で解いてやると

$$a=-1,   q=6$$

となるので、二次関数の式は

$$y=-(x+1)^2+6$$

となります。

 

軸が与えられているときは、標準形を使い軸を代入。

次に通る2点の座標を代入し、連立方程式を解く。

という流れですね!

(3)3点を通るパターン

(3)3点\((-1,5),  (2,5),  (3,9)\)を通る。

問題文に与えられている情報が3点の座標のみだから

$$y=ax^2+bx+c$$

一般形の形を活用していきます。

 

3点の座標を一般形の式に代入して、3本の式を作ります。

すると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}a-b+c=5 \\4a+2b+c=5 \\9a+3b+c=9\end{array} \right. \end{eqnarray}$$

このように3つの文字に関する連立方程式ができあがります。

>>>【連立方程式】3つの文字、式の問題を計算する方法は?

 

あとは、この連立方程式を解くことで

$$a=1,  b=-1,  c=3$$

となるので、二次関数の式は

$$y=x^2-x+3$$

となります。

 

与えられた情報が3点の座標のみの場合、一般形の形を活用して連立方程式を解くことで二次関数の式を求めることができます。

 

んー、計算が多いから

正直…

この問題めんどいっすねw

まぁ、テストには出やすい問題だから面倒なんて言ってられないのですが(^^;

スポンサーリンク

(4)x軸との交点パターン

(4)放物線\(y=2x^2\)を平行移動したもので、2点\((1,0),  (-3,0)\)を通る。

問題文から\(x\)軸との交点が与えられているので

$$y=a(x-α)(x-β)$$

分解形の形を活用していきましょう。

 

さらに、押さえておきたいポイントがありますね。

『放物線\(y=2x^2\)を平行移動した』

とありますが、ここから今から求める二次関数の式は\(a=2\)であることが読み取れます。

平行移動した場合、\(x^2\)の係数は同じになるんでしたね!

 

以上より、分解形にそれぞれの情報を当てはめると

$$y=2(x-1)(x+3)$$

$$=2x^2+4x-6$$

となります。

 

この問題は、一般形を使っても解くことはできますが分解形を活用した方が圧倒的に楽です!

そのため、分解形の出番は少ないのですが覚えておいたほうがお得ですね(^^)

(5)頂点が直線上にあるパターン

(5)放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動したもので、点\((2,3)\)を通り、その頂点は直線\(y=3x-1\)上にある。

ここからは、応用編になっていきます。

まず、問題分に頂点に関する情報が含まれているので

$$y=a(x-p)^2+q$$

標準形の形を活用していきます。

 

しかし、頂点の座標が具体的に分かっていないので、標準形の式に代入することができなくて困っちゃいますね(^^;

ということで、頂点の座標を自分で作ってしまいます!!

『頂点は直線\(y=3x-1\)上にある』

ということから、頂点の\(x\)座標を\(p\)とすると

頂点の\(y\)座標は、\(p\)を\(y=3x-1\)に代入して\(y=3p-1\)と表すことができます。

よって、頂点の座標を

$$(p,  3p-1)$$

と、自分で作ってやることができます。

 

更に

『放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動』

ということから、\(a=1\)であることも読み取れます。

 

これらの情報を、標準形の形に代入すると

$$y=(x-p)^2+3p-1$$

と、式を作ることができます。

更に、この式は点\((2,3)\)を通るので

$$3=(2-p)^2+3p-1$$

という式が作れます。

 

あとは、この方程式を解くことで\(p\)の値を求めます。

$$3=4-4p+p^2+3p-1$$

$$p^2-p=0$$

$$p(p-1)=0$$

$$p=0, 1$$

 

よって、二次関数の式は

$$y=x^2-1$$

$$y=x^2-2x+3$$

となります。

 

頂点が直線上にあるという問題では、頂点を自分で作ってしまいましょう!!

(6)最大・最小値パターン

(6)\(x=1\)のとき最小値\(2\)をとり、\(x=3\)のとき\(y=6\)となる。

最小値が与えられたことから

この二次関数は下に凸で、頂点は\((1,2)\)であることが読み取れます。

 

よって、頂点が分かるので

$$y=a(x-p)^2+q$$

標準形の形を活用していきます。

 

頂点は\((1,2)\)で、\(x=3\)のとき\(y=6\)となることから

$$y=a(x-1)^2+2$$

$$6=4a+2$$

$$4=4a$$

$$a=1$$

 

よって、二次関数の式は

$$y=(x-1)^2+2$$

$$=x^2-2x+3$$

となります。

二次関数の決定 まとめ

お疲れ様でした!

二次関数の式の決定では、問題文に与えられて情報からどの形の式を使うか判断する必要があります。

 

最後に確認して、終わりにしておきましょう。

3点の座標のみの場合

⇒ 【一般形】 \(y=ax^2+bx+c\)

 

頂点、軸が与えられた場合

⇒ 【標準形】 \(y=a(x-p)^2+q\)

 

\(x\)軸との交点が与えられた場合

⇒ 【分解形】\(y=a(x-p)^2+q\)

スポンサーリンク

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。