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【三乗の展開公式】(a+b)3乗の計算方法は?問題を使って解説!

今回取り上げるのはこちらの問題

次の式を展開せよ。

$$\LARGE{(x+2)^3}$$

3乗の展開問題です!

 

高校数学で学習する展開公式の1つなのですが…

計算がちょっとばかし複雑!!

ということで

今回は、この3乗公式をマスターすべく問題解説をしていきます。

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3乗の展開公式とは

3乗の展開公式

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

3乗の展開は上のように計算していきます。

 

なぜこのような展開公式になるのでしょうか?

3乗公式の証明

3乗の展開公式は以下のように導くことができます。

$$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$$

$$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$$

$$=a^3+a^2 b+2a^2 b+2ab^2+ab^2+b^3$$

$$=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

 

$$(a-b)^3=(a-b)^2(a-b)$$

$$=(a^2-2ab+b^2)(a-b)$$

$$=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3$$

$$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

 

 

3乗の式を2乗と1乗にわけてやることで、中学で学習した展開公式を利用しながら計算することができます。

だけど、毎回このような計算をするのは面倒なので3乗の公式を覚えておいた方が良いですね!

公式を使って展開してみよう!

それでは、公式を使って3乗の展開を計算してみましょう。

 

まずは3乗します。

 

次は、3倍2乗1乗。

 

次は、3倍1乗2乗。

 

そして最後に3乗!

 

あとは、それぞれの項を計算してやれば完了です。

$$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2+2^3$$

$$=x^3+6x^2+12x+8$$

 

ちょっと複雑には見えますが、ルールを覚えてしまえば簡単です。

まず、3乗!

次に、3倍2乗1乗

続いて、3倍1乗2乗

最後に3乗!

おわり(/・ω・)/

練習問題で理解を深めよう!

それでは、3乗の公式を使って練習問題に挑戦してみましょう!

 

次の式を展開しなさい。

$$\LARGE{(2x+3y)^3}$$

それでは3乗の公式に当てはめていきましょう。

3乗のフォーメーションは3⇒321⇒312⇒3でしたね!

$$(2x+3y)^3$$

$$\small{=(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 3y+3\cdot 2x\cdot (3y)^2+(3y)^3}$$

$$=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$$

 

かなり複雑です…

途中式を丁寧に書いてミスがないように計算してくださいね!

 

 

次の式を展開しなさい。

$$\LARGE{(2x-y)^3}$$

 

今度はマイナスがありますので

$$\large{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$$

これを利用していきましょう。

$$(2x-y)^3$$

$$=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot y+3\cdot 2x\cdot y^2-y^3$$

$$=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$$

 

では、次の問題がラスト!

次の式を展開しなさい。

$$\LARGE{(-4x+3)^3}$$

 

あれ…頭にマイナスがついてるけど…

こんなのも気にせず公式に当てはめていけばOK!

$$(-4x+3)^3$$

$$\small{=(-4x)^3+3\cdot (-4x)^2\cdot 3+3\cdot (-4x)\cdot 3^2+3^3}$$

$$=-64x^3+144x^2-108x+27$$

 

3乗の展開 まとめ

お疲れ様でした!

3乗の展開公式は、ちょっと複雑に見えてしまうので苦手な人が多いです。

ですが、やっていることは至ってシンプル!

3乗フォーメーションである

3⇒321⇒312⇒3

これをしっかりと覚えておけば大丈夫ですね(^^)

 

あとは何度も計算練習をして、ミスなくスラスラ解けるようにしておきましょう。

ファイトだー(/・ω・)/

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