【数学Ⅰ】f(x) > g(x)となる範囲「すべての」「ある」の違いを理解しておこう!




高校数学Ⅰで学習する2次関数の単元から

「\(f(x)>g(x)\) の範囲の求め方」

について解説していきます。

 

この問題では、

「すべての実数 \(x\) について」

「ある実数 \(x\) について」

「すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して」

「ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して」

といった表現が出てきます。

これらの違いについて理解した上で、どのように問題を解いていけばよいのか考えていきましょう。

 

今回取り上げる問題はこちらです。

【問題】

区間 \(-2≦x≦2\) で2つの関数 \(f(x)=(x-1)^2\), \(g(x)=-2x^2-4x+a\) を考える。次の \(a\) の値の範囲を求めよ。


(1)すべての実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。


(2)ある実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。


(3)すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。


(4)ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。

 

問題(1)すべての実数\(x\) に対して

【問題】

区間 \(-2≦x≦2\) で2つの関数 \(f(x)=(x-1)^2\), \(g(x)=-2x^2-4x+a\) を考える。次の \(a\) の値の範囲を求めよ。


(1)すべての実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。

すべての実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立するというのは、

区間の中において、同じ \(x\) 座標のところを比べると \(f(x)\) の方が \(g(x)\) よりも上にあるということを意味します。

 

なので、ここでは \(f(x)-g(x)\) の関数を考え、

この関数の区間内においての最小値が正であれば、

\(f(x)\) が常に上にあるということが言えます。

 

したがって、

$$\begin{eqnarray}&&f(x)-g(x)\\[5pt]&=&(x-1)^2 -(-2x^2-4x+a)\\[5pt]&=&x^2-2x+1+2x^2+4x-a\\[5pt]&=&3x^2+2x+1-a\\[5pt]&=&3\left(x^2+\frac{2}{3}x\right)+1-a\\[5pt]&=&3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}-a\end{eqnarray}$$

\(-2≦x≦2\) の区間において、最小値は \(\frac{2}{3}-a\) となる。

よって、

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}+a&>&0 \\[5pt]a&>&-\frac{2}{3}\cdots(解)\end{eqnarray}$$

 

問題(2)ある実数 \(x\) に対して

【問題】

区間 \(-2≦x≦2\) で2つの関数 \(f(x)=(x-1)^2\), \(g(x)=-2x^2-4x+a\) を考える。次の \(a\) の値の範囲を求めよ。


(2)ある実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。

ある実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立するというのは、

区間の中において、同じ \(x\) 座標のところを比べたとき、1ヵ所でもいいから、\(f(x)\) が \(g(x)\) よりも大きくなっているところがあるということを表しています。

  • すべての実数 ⇒ 常に成り立つ。
  • ある実数 ⇒ そうなるような場所が1つでもあればよい。

このような違いになっています。

なので、ここでも \(f(x)-g(x)\) の関数を考え、

この関数の区間内においての最大値が正であれば、

\(f(x)\) が \(g(x)\) よりも上になっている部分があるということが言えます。

 

したがって、

$$\begin{eqnarray}&&f(x)-g(x)&=&3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}-a\end{eqnarray}$$

\(-2≦x≦2\) の区間において、最大値は \(x=2\) のとき、\(17-a\) となる。

よって、

$$\begin{eqnarray}17-a&>&0 \\[5pt]a&<&17\cdots(解)\end{eqnarray}$$

 

問題(3)すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して

【問題】

区間 \(-2≦x≦2\) で2つの関数 \(f(x)=(x-1)^2\), \(g(x)=-2x^2-4x+a\) を考える。次の \(a\) の値の範囲を求めよ。


(3)すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。

すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立するというのは、

区間内のあらゆる座標を比べたとき、どこを比べたとしても\(f(x)\) が \(g(x)\) よりも上側にあるということを表しています。

(1)の問題では同じ \(x\) 座標のときで比べていましたが、

今回の問題では、同じ \(x\) 座標であるという縛りはありません。

 

となると、\(f(x)\) の最小値が \(g(x)\) の最大値よりも大きいならば、区間内のどこを比べても \(f(x)\) の方が上にあることになります。

 

というわけで、\(f(x)\) の最小値、\(g(x)\) の最大値をそれぞれ求めましょう。

\(f(x)=(x-1)^2\) であるから、\(x=1\) のとき最小値 \(0\)

\(g(x)=-2x^2-4x+a=-2(x+1)^2+2+a\) であるから、\(x=-1\) のとき最大値 \(2+a\)

 

したがって、

$$\begin{eqnarray}0&>&2+a\\[5pt]a&<&-2\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

問題(4)ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して

【問題】

区間 \(-2≦x≦2\) で2つの関数 \(f(x)=(x-1)^2\), \(g(x)=-2x^2-4x+a\) を考える。次の \(a\) の値の範囲を求めよ。


(4)ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。

ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立するというのは、

区間内のどこの座標を比べてもいいので、どこか1ヵ所でいいから \(f(x)\) の方が \(g(x)\) よりも上側になっていることを表しています。

これはちょっとイメージしずらいかもしれませんが(^^;)

上の画像のように、\(f(x)\) の最大値が \(g(x)\) の最小値よりも大きいならば、\(f(x)\) が上側になっている部分があるってことが言えます。

 

というわけで、\(f(x)\) の最大値、\(g(x)\) の最小値をそれぞれ求めましょう。

\(f(x)=(x-1)^2\) であるから、\(x=-2\) のとき最大値 \(9\)

\(g(x)=-2x^2-4x+a=-2(x+1)^2+2+a\) であるから、\(x=2\) のとき最小値 \(-16+a\)

 

したがって、

$$\begin{eqnarray}9&>&-16+a\\[5pt]a&<&25\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最後にそれぞれの違いと考え方についてまとめておきましょう。

  • すべての実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。

⇒ \(f(x)-g(x)\) の最小値が正となる。

 

  • ある実数 \(x\) に対して \(f(x)>g(x)\) が成立する。

⇒ \(f(x)-g(x)\) の最大値が正となる。

 

  • すべての実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。

⇒ \(f(x)\) の最小値 \(>\) \(g(x)\) の最大値

 

  • ある実数 \(x_{1},x_{2}\) に対して \(f(x_{1})>g(x_{2})\) が成立する。

⇒ \(f(x)\) の最大値 \(>\) \(g(x)\) の最小値

 

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