数スタ運営部

中学生向けの英文法サイトを開設!

≫ 中学英語の文法まとめサイト!

【連立方程式】3つの文字、式の問題を計算する方法は?

今回取り上げる問題はこちら!

次の方程式を解きなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x-y+z=1 \\4x-2y+z=-6 \\9x+3y+z=9\end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

高校数学で良く出てくる連立方程式ですね。

二次関数や円の式を作るときに活用します。

 

このように文字が3つ、式も3つある場合

どのように計算すれば良いのでしょうか??

 

解き方の手順を解説していきますね(^^)

文字を1つ消して、2つの式を作る

文字が3つのままだと計算ができません><

ということで、文字を1つ消しましょう!

文字を消すときには、なるべく係数が揃っている文字に注目しましょう。

今回の連立方程式では、\(z\)の係数が揃っているので\(z\)の文字を消していきます。

 

 

どうやって文字を消すかというと

このように3つの式から、2つずつ式を組み合わせて加減法で消していきます。

 

 

すると新たに\(x,  y\)だけの式が2つできましたね!

$$-3x+y=7$$

$$-5x-5y=-15$$

 

2つの式を連立方程式で解く

先ほど作った2つの式を連立方程式で解いていきましょう。

$$\large{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}-3x+y=7 \dots①\\-5x-5y=-15 \dots②\end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

文字が2つになったので、これは中学で学習した加減法を使えば簡単に解くことができますね!

今回の連立方程式では②の式の両辺を\((-5)\)で割ると\(y\)の係数を揃えることができます。

$$(-5x-5y)\div(-5)=-15\div (-5)$$

$$x+y=3$$

 

よって、加減法を用いると

\(x=-1\)の値が求まります。

次に\(x=-1\)を\(x+y=3\)に代入すると

$$-1+y=3$$

$$y=4$$

 

これで\(x,  y,  z\)の3つの文字のうち2つの値が求まりました。

残りの1つを求める

2つの文字の値が求まったら

元の連立方程式に代入して、残り1つの文字の値を求めましょう。

\(x=-1,  y=4\)を\(x-y+z=1\)に代入します。

 

$$-1-4+z=1$$

$$z=1+5$$

$$z=6$$

 

以上より

$$x=-1$$

$$y=4$$

$$z=6$$

となります。

完成!!

 

少し手間ではありましたが、解き方は難しいものではありませんでしたね。

もう一度、手順を確認しておきましょう。

3つの連立方程式手順

  1. 文字を1つ消す
  2. 2つの文字の式から連立方程式を解く
  3. 残り1つの文字を求める

 

それでは、理解を深めるために演習問題に挑戦してみましょう!

この連立方程式が活躍する二次関数の問題で実践してみよう。

スポンサーリンク

3点を通る二次関数の式を求める問題

問題

二次関数のグラフが

$$(-2,8)  (0,-2)  (1,-1)$$

の3点を通るとき、二次関数の式を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$y=2x^2-x-2$$

二次関数の式を求めるために、それぞれの座標を

$$y=ax^2+bx+c$$

の式の中に代入して連立方程式を解いていきましょう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}8=4a-2b+c \\-2=c \\-1=a-b+c\end{array} \right. \end{eqnarray}$$

今回の問題では、文字を消すまでもなく\(c=-2\)であることが分かっています。

この\(c\)の値を残り2つの式に代入します。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}8=4a-2b-2 \\-1=a-b-2\end{array} \right. \end{eqnarray}$$

そうすることで、文字を1つ消して\(a,  b\)の連立方程式を作ることができます。

あとは、これを計算していけばOKです。

 

すると、\(a=2,  b=-1\)が求まります。

よって、二次関数の式は\(y=2x^2-x-2\)となります。

 

問題

二次関数のグラフが

$$(1,4)  (3,2)  (-2,-8)$$

の3点を通るとき、二次関数の式を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$y=-x^2+3x+2$$

二次関数の式を求めるために、それぞれの座標を

$$y=ax^2+bx+c$$

の式の中に代入して連立方程式を解いていきましょう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}4=a+b+c\ldots① \\2=9a+3b+c\ldots② \\-8=4a-2b+c\ldots③\end{array} \right. \end{eqnarray}$$

まずは、\(c\)の値を消して2つの式を作りましょう。

①-②より

$$2=-8a-2b$$

②-③より

$$10=5a+5b$$

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}2=-8a-2b \\10=5a+5b \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

この連立方程式を解くと

$$a=-1,  b=3$$

これらを元の式である①に代入すると

$$4=-1+3+c$$

$$4-2=c$$

$$2=c$$

よって、二次関数の式は\(y=-x^2+3x+2\)となります。

 

まとめ

お疲れ様でした!

3つの文字、式の連立方程式を解くためには

まず、文字を1つ消してやることがポイントでしたね!

 

そうすることで今まで解いてきた連立方程式と同じ形を作ることができます。

たくさん練習して、しっかりと手順を身につけておこうね(^^)

ファイトだー(/・ω・)/

スポンサーリンク

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。