【2次方程式の解の存在範囲】判・軸・端の条件を見極めるのが重要!




高校数学Ⅰで学習する2次関数の単元から

「2次方程式の解の存在範囲」

について解説していきます。

 

  • 異なる2つの正の解をもつ。
  • 符号が異なる2つの解をもつ。
  • 1と2の間に異なる2つの解をもつ。

 

などなど。

このように解の存在範囲から定数 \(a\) の値の範囲を求めていく問題の解き方についてまとめていきます。

この問題を考える上で大事なポイントは、

2次関数のグラフとして考え、

「判別式」「軸」「区間の端点の\(y\)座標」

この3点に着目して、条件を作っていくことです。

 

これら3つのポイントを省略して「判・軸・端」と呼んで覚えておくと便利です。

では、パターンごとに問題の解き方を解説していきます。

2次方程式の解の存在範囲

【問題】

\(x\) についての2次方程式 \(x^2-2ax-a+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(1)異なる2つの正の解

(2)異なる2つの負の解

(3)符号が異なる2つの解


\(x\) についての2次方程式 \(-x^2+(m-10)x-m-14=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。

(4)異なる2つの解がともに1より大きくなる。


\(x\) についての2次方程式 \(x^2+kx+2k-1=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。

(5)異なる2つの解が \(-2\) と \(5\) の間にある。


\(x\) についての2次方程式 \(x^2+(a-1)x-a^2+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(6)1つの解が \(-2\) と \(0\) の間にあり,他の解が \(0\) と \(1\) の間にある。

これらの条件は丸暗記するのではなく、グラフのイメージ図をかいて自分で読み取れるようにしておきましょう。

(1)異なる2つの正の解

\(x\) についての2次方程式 \(x^2-2ax-a+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(1)異なる2つの正の解

まずは、異なる2つの正の解をもつような放物線のグラフをかいてみましょう。

区間の端点は \(x=0\) のところであり、「判・軸・端」の3つの条件が作れますね。

条件を作ることができたら、それぞれの条件から \(a\) の範囲を求め、最後に共通部分をとっていきましょう。

 

(2)異なる2つの負の解

\(x\) についての2次方程式 \(x^2-2ax-a+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(2)異なる2つの負の解

こちらもイメージ図をかいて考えていきます。

すると、次のような条件を作ることができます。

(1)とは、軸の正負が変わっただけですね。

 

よって、このように範囲を求めることができました。

(3)符号が異なる2つの解

\(x\) についての2次方程式 \(x^2-2ax-a+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(3)符号が異なる2つの解

区間の端点をはさみこむように解が存在する場合、これはラッキー問題となります!

通常であれば「判・軸・端」の3つの条件を考える必要があるのですが、今回のように端点をはさみこむ場合には「端」のみを考えればOKとなります。

(4)異なる2つの解がともに1より大きくなる。

\(x\) についての2次方程式 \(-x^2+(m-10)x-m-14=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(4)異なる2つの解がともに1より大きくなる。

こちらもイメージ図をかいて考えましょう。

今回は区間の端点が \(x=1\) となっていることを踏まえて、3つの条件を作っていきます。

(5)異なる2つの解が \(-2\) と \(5\) の間にある。

\(x\) についての2次方程式 \(x^2+kx+2k-1=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。

(5)異なる2つの解が \(-2\) と \(5\) の間にある。

端点が\(-2\)、\(5\) のの2つあることに注意して3つの条件を作っていきましょう。

(6)1つの解が \(-2\) と \(0\) の間にあり,他の解が \(0\) と \(1\) の間にある。

\(x\) についての2次方程式 \(x^2+(a-1)x-a^2+2=0\) が次のような解をもつとき,定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。

(6)1つの解が \(-2\) と \(0\) の間にあり,他の解が \(0\) と \(1\) の間にある。

2つの解が、どこの間にあるかを具体的に指定されている場合、次のように端点の符号から条件を作っていきましょう。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

2次方程式の解の存在範囲は、入試でも頻出の問題です。

冒頭でも述べましたが、大事なポイントは「判・軸・端」です。

イメージ図のグラフをかいて、3つの条件をチェックしていくようにしましょう(/・ω・)/

 

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