【平方完成】文字を含む式の場合は?やり方を丁寧に解説!




今回は、数学Ⅰで学習する二次関数の単元から『文字を含む式を平方完成する方法』について解説していきます!

文字を含む式というのは、次のようなものになります。

$$\large{y=x^2-4ax+2a^2+5a-3}$$

模試やセンター試験などの入試レベルの問題になると、二次関数の式に文字が含まれていることが多くなります。

そうなると、こういった複雑な式であっても軽々と平方完成することができなければいけません。

 

ということで、今回は文字を含む式の平方完成について練習していきましょう!

 

今回の内容は式変形が複雑なところもあるので、動きのある動画講義をチェックしていただけると理解が早いですよ^^

平方完成のやり方

まずは、平方完成のやり方について確認しておきましょう。

平方完成の手順

  1. \(x^2\)の係数でくくる
  2. 半分にする
  3. 2乗を引く

 

この3ステップでしたね!

文字を含む式であっても、この手順に従って平方完成をおこなっていきます。

文字を含む式の平方完成

$$\large{y=x^2-4ax+2a^2+5a-3}$$

それでは、この式を平方完成していきましょう。

ステップ①~\(x^2\)の係数をくくる~

今回の式では、\(x^2\)の係数は1なので、くくりだす必要はありませんね。

ステップ②③~半分にして、2乗を引く~

次は、\(x\)の係数を半分にして2乗を引きましょう。

 

あとは、計算していけばOKですね。

$$y=x^2-4ax+2a^2+5a-3$$

$$=(x-2a)^2-(2a)^2+2a^2+5a-3$$

$$=(x-2a)^2-4a^2+2a^2+5a-3$$

$$=(x-2a)^2-2a^2+5a-3$$

これで完成となります!

ちなみに、頂点は\((2a,  -2a^2+5a-3)\)ですね。

 

それでは、他にも文字を含む式を平方完成してみましょう!

 

いろんなパターンの式を平方完成してみよう!

$$\large{y=-2x^2+2ax-\frac{5}{4}a^2+2a-1}$$

平方完成のやり方はこちら

 

$$y=-2x^2+2ax-\frac{5}{4}a^2+2a-1$$

$$=-2(x^2-ax)-\frac{5}{4}a^2+2a-1$$

$$=-2\left\{ \left( x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}\right\}-\frac{5}{4}a^2+2a-1$$
$$=-2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}\times (-2)-\frac{5}{4}a^2+2a-1$$
$$=-2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{2}-\frac{5}{4}a^2+2a-1$$
$$=-2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{3}{4}a^2+2a-1$$

 

頂点は、\(\displaystyle{\left(\frac{a}{2},  -\frac{3}{4}a^2+2a-1\right)}\)となります。

 

 

$$\large{y=x^2-(a+1)x+a+2}$$

平方完成のやり方はこちら

 

$$y=x^2-(a+1)x+a+2$$

$$=\left( x-\frac{a+1}{2}\right)^2-\left(\frac{a+1}{2}\right)^2+a+2$$
$$=\left( x-\frac{a+1}{2}\right)^2-\frac{a^2+2a+1}{4}+\frac{4a+8}{4}$$
$$=\left( x-\frac{a+1}{2}\right)^2+\frac{-a^2+2a+7}{4}$$

 

頂点は、\(\displaystyle{\left(\frac{a+1}{2},  \frac{-a^2+2a+7}{4}\right)}\)となります。

 

 

$$\large{y=-x^2+(a-2)x-\frac{a^2}{4}+2a}$$

平方完成のやり方はこちら

 

$$y=-x^2+(a-2)x-\frac{a^2}{4}+2a$$

$$=-\left\{x^2-(a-2)x\right\}-\frac{a^2}{4}+2a$$
$$=-\left\{ \left( x-\frac{a-2}{2}\right)^2-\frac{a^2-4a+4}{4}\right\}-\frac{a^2}{4}+2a$$
$$=-\left( x-\frac{a-2}{2}\right)^2+\frac{a^2-4a+4}{4}-\frac{a^2}{4}+\frac{8a}{4}$$

$$=-\left( x-\frac{a-2}{2}\right)^2+a+1$$

 

頂点は、\(\displaystyle{\left(\frac{a-2}{2},  a+1\right)}\)となります。

 

文字を含む式の平方完成 まとめ

お疲れ様でした!

文字を含む式の平方完成は、途中式が複雑になってしまいますが手順は基本通りです。

しっかりと手順に沿って、丁寧に計算していけば解けるはずです(^^)

 

たくさん練習して、スラスラ解けるようにしておきましょう!

分数をくくりだすような平方完成はこちらで練習しておきましょう(^^)

>>>【平方完成】分数でくくるパターンの問題の解き方を解説!

 

こちらの記事も合わせてどうぞ!

 

【中3受験生へ】この力を身につけたら本番で60点は楽勝にとれる!


頑張っているのに思うように成績が上がらず、
「このままだと本番で数学60点が厳しいかも…」
と不安に感じているあなた。

もしかして、
このような問題に直面していませんか?
  • 模試になると点がガクッと落ちる
  • 復習のやり方が分からない
  • 勉強してもすぐに忘れる
  • 凡ミスが直らない
  • 家だと集中して勉強できない
  • 問題集を買っても、1人で解けなくて途中でやめてしまう
  • 友人が点を伸ばしていて焦る
  • 頑張りたいから何をすればいいか教えて欲しい

僕が2年前に指導させてもらった中3のAくん
彼がまさにこのような状態でした。
 
すごく勉強したのに試験の結果が36点…
 
「どうすればいいか分からない…」
「点を上げれる自信がない…」
 
自信をなくし落ち込んでいましたが、
ある勉強方法を取り入れたことによって
Aくんは大変身!
 
なんと、たった2ヶ月で
36点 ⇒ 72点
なんと、驚きの36点UPを達成!

 
何をやっても点が伸びなかったAくん
彼を大変身させた「ある勉強方法」とは、
たったの5分で取り組める簡単なものです。
 
この勉強法を活用した人は、

 

43点 ⇒ 69点



67点 ⇒ 94点



人生初の100点!



 
このように次々と良い結果を報告してくれています^^
 
Aくんを大変身させた「ある勉強法」を
あなたにも活用してもらい
今すぐにでも結果を出して欲しいです。
 
そこで!
ある勉強法が正しく身につくように、
3つのワークを用意しました。
 
こちらのメルマガ講座の中で、
順にお渡ししていくので1つずつ取り組み、
やればやっただけ点が伸びていく感覚を掴んでくださいね!
 
もちろんメルマガ講座の登録は無料!
いますぐワークを受け取っておきましょう('◇')ゞ

     
 




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。