【二次方程式】判別式Dを使って解の個数を調べてみよう!

二次方程式において、判別式っていうのを使うと

二次方程式の実数解の個数を調べることができます。

今回の記事では例題を通して

判別式の使い方を学んでいきましょう!

判別式の使い方

判別式\(D=b^2-4ac\)の符号を調べることで、二次方程式の実数解の個数を調べることができます。

 

え、判別式の公式って新しく覚えなきゃいけないんですか…とは思わないでくださいね。

判別式とは…

解の公式のルートの中身を取り出したものですね。

 

では、実際に判別式を使ってみましょう。

次の二次方程式の実数解の個数を調べなさい。

$$2x^2-5x+1=0$$

まずは、解の公式を使うときと同じように\(a,b,c\)の値を読み取りましょう。

そして、これらの値を判別式\(D=b^2-4ac\)に当てはめてみましょう。

$$\begin{eqnarray}D&=&(-5)^2-4\cdot 2\cdot 1\\[5pt]&=&25-8\\[5pt]&=&17>0 \end{eqnarray}$$

すると、判別式の値17は0より大きいことが分かります。

 

よって、判別式が\(D>0\)となるので

実数解の個数は2個

ということが分かりました。

判別式を使うと、わざわざ解を求めなくて個数を求めることができるので便利ですね(^^)

 

では、他の方程式においても判別式を使ってみましょう。

次の二次方程式の実数解の個数を求めなさい。

$$4x^2+4x+1=0$$

\(a=4, b=4,c=1\)が読み取れたら判別式に当てはめてみましょう。

$$\begin{eqnarray}D&=&4^2-4\cdot 4\cdot 1\\[5pt]&=&16-16\\[5pt]&=&0 \end{eqnarray}$$

よって、判別式の値が0になったので

実数解の個数は1個

ということが分かりました。

実数解が1個のときには重解といいます。

2個あった解が同じになって重なり、1個になったっていうイメージですね。

 

次の二次方程式の実数解の個数を求めなさい。

$$3x^2-6x+5=0$$

\(a=3, b=-6,c=5\)が読み取れたら判別式に当てはめてみましょう。

$$\begin{eqnarray}D&=&(-6)^2-4\cdot 3\cdot 5\\[5pt]&=&36-60\\[5pt]&=&-24<0 \end{eqnarray}$$

よって、判別式の値が負(\(D<0\))になったので

実数解の個数は0個

となります。

 

ちなみに、数学Ⅱでは虚数というものを学習するようになります。

すると、\(D<0\)というのは

実数解はないけど、異なる2つの虚数解があるっていうことになります。

まぁ、これは別の記事にてお話しますね。

判別式の利用

判別式の問題は、個数を問われるだけではありません。

この章では判別式の利用問題について解説していきます。

2次方程式\(2x^2-3x+a=0\)が実数解をもつような、定数\(a\)の範囲を求めなさい。

実数解を持つというのは次のように考えることができます。

「実数解を持つ」=「解が2個または1個になる」

ということから、\(D≧0\)になると考えられますね。

 

なので、二次方程式\(2x^2-3x+a=0\)が実数解をもつってことだから

判別式に当てはめたときに0以上になるってことがわかります。

$$\begin{eqnarray}D&=&(-3)^2-4\cdot 2\cdot a\\[5pt]&=&9-8a≧0\\[5pt]&&-8a≧-9\\[5pt]&&a≦\frac{9}{8}\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

このように、解の個数などが与えられ

そこから文字の範囲を求めさせるという問題がよく出題されます。

ここでは判別式の知識とは別に、不等式を解く知識も必要となります。

あわせてこちらの記事も復習しておきましょう。

⇒ 不等式の解き方まとめ!高校数学はこれでバッチリ!

⇒ 二次不等式の解き方を簡単に!高校数学をマスターしよう!

まとめ!

今回は二次方程式の判別式についてまとめておきました。

解の個数なんて調べて何になるんだ?

と疑問に思った方もいるかもしれません。

しかし、今回が学習した知識が二次関数の単元において、ものすごく重要になってきます。

だから今のうちにしっかりとマスターしておきましょうね!

 

ちなみに、二次関数での判別式はこちらの記事を!

⇒ 【二次関数の判別式】x軸との共有点、グラフの位置関係を考える問題を解説!

 

こちらの記事も合わせてどうぞ!

 

高校入試で使える公式集をプレゼント!


 
高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました!
 
定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。
学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/

これは知らないと損をするかも…!?
 
無料の中学生メルマガ講座にご登録いただいた方に、
高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。
 
こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください!

ご登録いただいたメールアドレスに教材を送らせていただきます。
 
 
中学生メルマガ講座では、今回のプレゼントのほか
  • オリジナルの入試教材
  • 入試問題の詳しい解説データ
  • ZOOMを使った個別指導


などのプレゼント企画をやっております。
 
登録は1分もあれば完了します。
ぜひ、こちらから中学生メルマガ講座に登録してみてくださいね(^^)




数スタの運営をしている小田です。
数学の指導歴11年。最近ではオンラインで個別指導をさせてもらっています。  >> 詳しいプロフォールはこちら
数学のニガテを一緒に解決しよう!イチから丁寧に解説するぞ!をモットーに数スタのサイトを作成しました。おかげさまで月30万人の方にご利用いただいております(^^)

【無料のメルマガ講座】
より詳しい学習解説、限定コンテンツの配信、個別指導のプレゼントなどを行っています。
メルマガ講座

【YouTubeチャンネル】
数学の基礎を丁寧に解説しています! ⇒ 数スタチャンネル

【LINE登録】
メッセージはLINEで受け付けてます(/・ω・)/ ⇒LINE登録





コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。