数スタ運営部

数スタの公式LINEを開設しました!

友だち追加

【苦手な人向け】二次関数を対称移動したときの式の求め方を解説!

今回は「二次関数の対称移動」について解説していきます。

ここの記事では、数学が苦手な人に向けてイチから学習していくぞ!

対称移動とは

まず、対称移動とはどんなものなのか見ておきましょう。

\(x\)軸に関して対称移動とは次のようなものです。

\(x\)軸を折れ目として、パタンと折り返した感じだね。

下に移動しているので、\(x\)座標はそのまま。\(y\)座標の符号がチェンジしていることが分かるね。

これを二次関数の放物線で考えても同じ。

このように\(x\)軸でパタンと折り返した形になります。

ここでポイントとして覚えておきたいのはコレ!

\(x\)軸に関して対称移動\(y\)座標の符号がチェンジする!

$$y → -y$$

 

\(y\)軸に関して対称移動する場合には

このように、\(y\)軸を折れ目としてパタンと折り返した形になります。

なので、\(x\)座標の符号がチェンジするということが分かりますね!

\(y\)軸に関して対称移動\(x\)座標の符号がチェンジする!

$$x → -x$$

 

原点に関して対称移動する場合には

このように、斜めに移動したところになります。

つまり、\(x\)座標と\(y\)座標が両方とも符合チェンジすることが分かりますね!

原点に関して対称移動\(x\)座標、\(y\)座標の符号がチェンジする!

$$x → -x$$
$$y → -y$$

 

対称移動をすると、どのような場所に移動するのか。

そして、座標はどのように変わるのか。

ご理解いただけましたか??

これらのポイントをおさえた上で、次の章で問題を解いていきましょう!

二次関数を対称移動したときの式の求め方

【問題】

二次関数 \(y=x^2-4x+3\) のグラフを\(x\)軸、\(y\)軸、原点のそれぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

それでは、以下のポイントをしっかりと押さえたうえで問題解説をしていきます。

二次関数の対称移動のポイント!

【\(x\)軸に関して対称移動】 \(y → -y\)

【\(y\)軸に関して対称移動】 \(x → -x\)

【原点に関して対称移動】 \(x , y→ -x , -y\)

 

\(x\)軸に関して対称移動の式

【問題】

二次関数 \(y=x^2-4x+3\) のグラフを\(x\)軸に関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

\(x\)軸に関して対称移動する場合

$$\LARGE{y → -y}$$

これを覚えておけば簡単に解くことができます。

二次関数の式の\(y\)の部分を \(-y\) にチェンジしてしまえばOKです。

あとは、こちらの式を変形して\(y=\cdots\) にしていきましょう。

$$\begin{eqnarray}-y&=&x^2-4x+3\\[5pt]y&=&-x^2+4x-3 \end{eqnarray}$$

これで完成です!

簡単だね(^^)♪

答え

$$y=-x^2+4x-3$$

\(y\)軸に関して対称移動の式

【問題】

二次関数 \(y=x^2-4x+3\) のグラフを\(y\)軸に関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

\(y\)軸に関して対称移動する場合

$$\LARGE{x → -x}$$

これを覚えて

おけば簡単に解くことができます。

二次関数の式の\(x\)の部分を \(-x\) にチェンジしてしまえばOKです。

あとは、こちらの式を計算してまとめていきましょう。

$$\begin{eqnarray}y&=&(-x)^2-4(-x)+3\\[5pt]y&=&x^2+4x+3 \end{eqnarray}$$

これで完成です!

答え

$$y=x^2+4x+3$$

 

原点に関して対称移動の式

【問題】

二次関数 \(y=x^2-4x+3\) のグラフを原点に関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

原点に関して対称移動する場合

$$\LARGE{x , y→ -x , -y}$$

これを覚えて

おけば簡単に解くことができます。

二次関数の式の\(x\)と\(y\)の部分を \(-x\)、\(-y\) にチェンジしてしまえばOKです。

あとは、こちらの式を変形して\(y=\cdots\) にしていきましょう。

$$\begin{eqnarray}-y&=&(-x)^2-4(-x)+3\\[5pt]-y&=&x^2+4x+3\\[5pt]y&=&-x^2-4x-3 \end{eqnarray}$$

これで完成です!

簡単、簡単(^^)♪

答え

$$y=-x^2-x-3$$

スポンサーリンク

二次関数の対称移動【練習問題】

【問題】

二次関数 \(y=x^2\) のグラフを\(x\)軸、\(y\)軸、原点のそれぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

解説&答えはこちら

答え

【\(x\)軸】\(y=-x^2\)

【\(y\)軸】\(y=x^2\)

【原点】\(y=-x^2\)

 

【問題】

二次関数 \(y=2x^2-5x\) のグラフを\(x\)軸、\(y\)軸、原点のそれぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

解説&答えはこちら

答え

【\(x\)軸】\(y=-2x^2+5x\)

【\(y\)軸】\(y=2x^2+5x\)

【原点】\(y=-2x^2-5x\)

 

直線の式(y=1)に対する対称移動【応用】

では、次に二次関数の対称移動に関する応用問題にも挑戦してみましょう。

【問題】

二次関数 \(y=x^2-2x+4\) のグラフを\(y=1\)に関して対称移動した曲線をグラフにもつ二次関数を求めよ。

\(y=1\)に関して対称移動!?

って感じですが(^^;)

この場合は、落ち着いてグラフを書いて考えてみましょう。

\(y=x^2-2x+4\) の頂点を求めてグラフを書いてみると次のようになります。

 

これを\(y=1\) で対称移動すると、次のような形になります。

もとのグラフの頂点と\(y=1\) の距離は\(2\)です。

なので、対称移動されたグラフは\(y=1\) からさらに距離が\(2\)離れたところに頂点がくるはずです。

よって、対称移動されたグラフの頂点は\((1,-1)\)ということが分かります。

 

さらに大事なこととして!

対称移動された放物線の大きさ(開き具合)はもとのグラフと同じになるはずです。

だから、\(x^2\)の係数は同じ、または符号違いになります。

つまり数の部分は同じってことね!

 

今回のグラフは明らかにグラフの向きが変わっているので、\(x^2\)の係数が符号違いになるということがわかります。

このことから、\(y=1\)に関して対称移動されたグラフは\(x^2\)の係数が\(-1\)であり、頂点は\((1,-1)\)になるという情報が読み取れます。

よって、式を作ると次のようになります。

$$\begin{eqnarray}y&=&-(x-1)^2-1\\[5pt]&=&-x^2+2x-1-1\\[5pt]y&=&-x^2+2x-2 \end{eqnarray}$$

答え

$$y=-x^2+2x-2$$

二次関数の対称移動【まとめ】

お疲れ様でした!

二次関数の対称移動は簡単でしたね(^^)

\(x,y\) のどちらの符号をチェンジすればよいのか。

この点を覚えておけば簡単に式を求めることができます。

 

あれ、どっちの符号をチェンジするんだっけ…?

と、なってしまった場合には自分で簡単なグラフを書いてみると思い出せるはずです。

\(x\)軸に関して対称移動とくれば、グラフを\(x\)軸を折れ目としてパタンと折り返してみましょう。

そのときに、座標は\(x\)と\(y\)のどちらが変化しているかな?

こうやって確認していけば、すぐに思い出すことができるはずです。

 

あとは、たくさん練習して知識を定着させていきましょう(/・ω・)/

スポンサーリンク

効率よく学習を進めていきたい方は必見!

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。