二次関数の文章題!高校で学習する問題をパターン別まとめ!




高校数学Ⅰで学習する関数の単元から

「2次関数の文章題」

についての問題をパターン別にまとめていきます。

 

二次関数の文章題(面積、平方など)

問題①針金を使って面積を考える

【問題】

長さ\(16\)㎝の針金を2本に切り,それぞれの針金を折り曲げて正方形を2つ作る。

これらの正方形の面積の和を最小にするには,針金を何㎝と何㎝に切ればよいか。

一方の針金を \(x\)㎝とすると、もう一方の針金は \((16-x)\)㎝と表すことができる。

ともに長さは正になることから

\(x>0\)、 \(16-x>0\) ⇒ \(16>x\)

よって、\(0<x<16\) となる。

\(x\)㎝の針金を正方形にすると、1辺が\(\frac{x}{4}\)㎝となる。

よって、面積は \(\left(\frac{x}{4} \right)^2=\frac{x^2}{16}\)

 

\((16-x)\)㎝の針金を正方形にすると、1辺が\(\frac{16-x}{4}\)㎝となる。

よって、面積は \(\left(\frac{16-x}{4} \right)^2=\frac{256-32x+x^2}{16}\)

 

正方形の面積の和を\(y\)㎡として考えると

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{x^2}{16}+ \frac{256-32x+x^2}{16}\\[5pt]&=&\frac{1}{8}x^2-2x+16\\[5pt]&=&\frac{1}{8}(x^2-16x)+16\\[5pt]&=&\frac{1}{8}(x-8)^2+8\end{eqnarray}$$

グラフより

\(x=8\) のとき最小値 \(8\) となる。

よって、針金は\(8\)㎝と\(8\)㎝に切ればよい。

 

問題②長方形の面積の最大

【問題】

下の図のような長方形の作る。辺ABの部分をのぞく周囲の長さを\(8\)mとし,面積を最大にするには,縦の長さを何mにすればよいか。

縦の長さを\(x\)m とすると、横の長さは \((8-2x)\)mと表せる。

ともに長さは正になるので、

\(x>0\),  \(8-2x>0\) ⇒ \(x<4\)

よって、\(0<x<4\) となる。

長方形の面積を\(y\)㎡と考えると、

\(y=x(8-2x)\) と表せる。

$$\begin{eqnarray}y&=&x(8-2x)\\[5pt]&=&-2x^2+8x\\[5pt]&=&-2(x^2-4x)\\[5pt]&=&-2(x-2)^2+8 \end{eqnarray}$$

グラフより

\(x=2\) のとき最大値\(8\) となる。

よって、面積が最大となる縦の長さは\(2m\) 

問題③直角三角形の中にある長方形

【問題】ニューアクションβより

下の図のように,\(BC=8\), \(AC=6\), \(∠C=90°\) の直角三角形ABCの辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺AC上に点Rをとり,長方形PQCRをつくるとき,この長方形の面積の最大値を求めよ。また、そのときのPQとPRの長さをそれぞれ求めよ。

\(PQ=x\), \(PR=y\) とすると \(0<x<6\) となる。

さらに、\(BQ=8-y\) と表せることから

平行線と線分の比を利用すると、\(AC:PQ=BC:BQ\) を利用すると

$$\begin{eqnarray}AC:PQ&=&BC:BQ\\[5pt]6:x&=&8:(8-y)\\[5pt]8x&=&-6y+48\\[5pt]y&=&-\frac{4}{3}x+8 \end{eqnarray}$$

となる。

長方形\(PQCR\) の面積を\(S\) として考えると

$$\begin{eqnarray}S&=&xy\\[5pt]&=&x\left(-\frac{4}{3}x+8\right)\\[5pt]&=&-\frac{4}{3}x^2+8x \\[5pt]&=&-\frac{4}{3}(x^2-6x)\\[5pt]&=&-\frac{4}{3}(x-3)^2+12\end{eqnarray}$$

グラフより

\(x=3\) のとき最大値\(12\) となる。

\(x=3\) を \(y=-\frac{4}{3}x+8\) に代入すると \(y=4\) となる。

したがって

\(PQ=3\), \(PR=4\) のとき 最大値 \(12\) となる。

 

問題④売上金額の最大

【問題】ニューアクションβより

ある品物を1個60円で売ると1日に50個売れる。1個の値段を10円上げるごとに1日の売上個数は5個ずつ減るという。1個の値段をいくらにすれば1日の売上金額が最大になるか。また,そのときの売上金額はいくらか。

この問題では文字の置き方に注意!

「\(x\)円値上げる」と置いてしまうと式を作るのが難しくなります。

問題文より、10円ごとに条件が設定されているので、

10円を基準として、「\(10x\)円値上げする」と考えていきましょう。

 

1個の値段を\(10x\)円値上げすると、1個の値段は \((60+10x)\) 円と表せる。

売上個数は \(5x\) 個減ることになるので、\((50-5x)\)個となる。

\(x≧0\), \(50-5x≧0\) ⇒ \(10≧x\) であることから \(0≦x≦10\) となる。

売上金額を \(y\) 円とすると

$$\begin{eqnarray}y&=&(60+10x)(50-5x)\\[5pt]&=&-50x^2+200x+3000\\[5pt]&=&-50(x-2)^2+3200 \end{eqnarray}$$

グラフより

\(x=2\) のとき最大値 \(3200\) になる。

\(x=2\) ということは\(20\)円値上げということなので

したがって

1個の値段は\(80\)円、売上金額は\(3200\)円となる。

問題⑤平方の最大・最小

【問題】青チャートより

直角を挟む2辺の長さの和が\(20\) である直角三角形において,斜辺の長さが最小の直角三角形を求め,その斜辺の長さを求めよ。

直角を挟む2辺のうち一方の長さを\(x\) とすると、もう一方は \((20-x)\) と表せる。

 

長さはともに正になるので

\(x>0\), \(20-x>0\) ⇒ \(20>x\)

よって、\(0<x<20\) となる。

 

斜辺の長さを \(l\) とすると、三平方の定理より

$$\begin{eqnarray}l^2&=&x^2+(20-x)^2\\[5pt]&=&2x^2-40x+400\\[5pt]&=&2(x^2-20x)+400\\[5pt]&=&2(x-10)^2-+200 \end{eqnarray}$$

グラフより

\(x=10\) のとき \(l^2\) の最小値は \(200\) となる。

\(l>0\) だから \(l^2\) が最小となるとき \(l\) も最小となる。

\(l^2=200\) ⇒ \(l=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\)

したがって

直角を挟む2辺の長さがともに \(10\)の直角二等辺三角形で、斜辺の長さは \(10\sqrt{2}\) となる。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

二次関数の文章題をパターン別にまとめてみました。

初見では解くのが難しい問題もありますが、

たくさんの問題に触れ、知識の引き出しを増やしておくことが大切です。

 

何を文字で置けばよいのか。

そのときの範囲はどうなるのか。

変域に注意しながらグラフをかくとどうなるか。

 

この辺りを意識しながら、たくさん問題を解いていってくださいね!

 

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