【数学Ⅰ】4次不等式の解き方を例題解説!




高校数学Ⅰで学習する2次不等式の単元から

「4次不等式の解き方」

について解説していきます。

 

今回取り上げる問題はこちら!

【問題】

次の不等式を解け。

(1)\(2x^4-5x^2+2>0\)


(2)\(x^4-6x^2-16<0\)


(3)\((x^2-4x+1)^2-3(x^2-4x+1)+2≦0\)

 

4次不等式を解くときには、置き換えを利用して2次不等式に変換して考えていきます。

置き換えを利用したときには、変域に注意して解いていきましょう。

問題(1)(2) \(t=x^2\) で置き換え

次の不等式を解け。

(1)\(2x^4-5x^2+2>0\)

\(t=x^2\) と置き換えをして解いていきましょう。

置き換えを利用したことで、\(t≧0\) となることに注意してください。

 

\(t\) の範囲が求まったら、\(x^2\) に戻して \(x\)の範囲を求めていきましょう。

「\(〇≦x^2≦△\)」の形になっているので、

「\(〇≦x^2\)」かつ「\(x^2≦△\)」に分けて範囲を求めてください。

 

 

次の不等式を解け。

(2)\(x^4-6x^2-16<0\)

こちらも(1)同様に \(t=x^2\) と置き換えて考えていきましょう。

 

問題(3) \(t=x^2-4x+1\) で置き換え

次の不等式を解け。

(3)\((x^2-4x+1)^2-3(x^2-4x+1)+2≦0\)

\(t=x^2-4x+1\) と置き換えて進めていきましょう。

\(t\) の変域を求めるためには、\(x^2-4x+1\) を平方完成して2次関数として考えてください。

\(t\) の変域が求まったら、\(t\) の2次不等式に変換して計算を進めていきます。

\(t\) の範囲を求めたら、\(x^2-4x+1\) に戻して \(x\) の範囲を求めます。

「\(1≦x^2-4x+1≦2\)」という形になるので、

「\((1≦x^2-4x+1\)」かつ「\(x^2-4x+1≦2\)」に分けて考えていきましょう。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

4次不等式はそこまで頻出ってわけではありません。

ですが、考え方を知っておかないと対応するのは難しい問題ですね(^^;)

 

4乗を使った問題では、

こちらの記事も要チェックです!

4乗の因数分解は、絶対におさえておきたい大事な問題ですからね(/・ω・)/

 

こちらの記事も合わせてどうぞ!

 

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