二次関数の文章題！高校で学習する問題をパターン別まとめ！

高校数学Ⅰで学習する関数の単元から

「2次関数の文章題」

についての問題をパターン別にまとめていきます。

それぞれの問題には解説動画をつけているので、わかりづらいところは動画でチェックしてみてください＾＾

Contents

二次関数の文章題（面積、平方など）
まとめ！

二次関数の文章題（面積、平方など）

問題①針金を使って面積を考える

【問題】

長さ$16$㎝の針金を2本に切り，それぞれの針金を折り曲げて正方形を2つ作る。

これらの正方形の面積の和を最小にするには，針金を何㎝と何㎝に切ればよいか。

一方の針金を $x$㎝とすると、もう一方の針金は $(16-x)$㎝と表すことができる。

ともに長さは正になることから

$x>0$、　$16-x>0$ ⇒ $16>x$

よって、$0<x<16$ となる。

$x$㎝の針金を正方形にすると、1辺が$\frac{x}{4}$㎝となる。

よって、面積は $\left(\frac{x}{4} \right)^2=\frac{x^2}{16}$

$(16-x)$㎝の針金を正方形にすると、1辺が$\frac{16-x}{4}$㎝となる。

よって、面積は $\left(\frac{16-x}{4} \right)^2=\frac{256-32x+x^2}{16}$

正方形の面積の和を$y$㎡として考えると

$$\begin{eqnarray}y&=&\frac{x^2}{16}+ \frac{256-32x+x^2}{16}\\[5pt]&=&\frac{1}{8}x^2-2x+16\\[5pt]&=&\frac{1}{8}(x^2-16x)+16\\[5pt]&=&\frac{1}{8}(x-8)^2+8\end{eqnarray}$$

グラフより

$x=8$ のとき最小値 $8$ となる。

よって、針金は$8$㎝と$8$㎝に切ればよい。

問題②長方形の面積の最大

【問題】

下の図のような長方形の作る。辺ABの部分をのぞく周囲の長さを$8$mとし，面積を最大にするには，縦の長さを何mにすればよいか。

縦の長さを$x$m とすると、横の長さは $(8-2x)$mと表せる。

ともに長さは正になるので、

$x>0$, $8-2x>0$ ⇒ $x<4$

よって、$0<x<4$ となる。

長方形の面積を$y$㎡と考えると、

$y=x(8-2x)$ と表せる。

$$\begin{eqnarray}y&=&x(8-2x)\\[5pt]&=&-2x^2+8x\\[5pt]&=&-2(x^2-4x)\\[5pt]&=&-2(x-2)^2+8 \end{eqnarray}$$

グラフより

$x=2$ のとき最大値$8$ となる。

よって、面積が最大となる縦の長さは$2m$

問題③直角三角形の中にある長方形

【問題】ニューアクションβより

下の図のように，$BC=8$, $AC=6$, $∠C=90°$ の直角三角形ABCの辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺AC上に点Rをとり，長方形PQCRをつくるとき，この長方形の面積の最大値を求めよ。また、そのときのPQとPRの長さをそれぞれ求めよ。

$PQ=x$, $PR=y$ とすると $0<x<6$ となる。

さらに、$BQ=8-y$ と表せることから

平行線と線分の比を利用すると、$AC:PQ=BC:BQ$ を利用すると

$$\begin{eqnarray}AC:PQ&=&BC:BQ\\[5pt]6:x&=&8:(8-y)\\[5pt]8x&=&-6y+48\\[5pt]y&=&-\frac{4}{3}x+8 \end{eqnarray}$$

となる。

長方形$PQCR$ の面積を$S$ として考えると

$$\begin{eqnarray}S&=&xy\\[5pt]&=&x\left(-\frac{4}{3}x+8\right)\\[5pt]&=&-\frac{4}{3}x^2+8x \\[5pt]&=&-\frac{4}{3}(x^2-6x)\\[5pt]&=&-\frac{4}{3}(x-3)^2+12\end{eqnarray}$$