【三角比】2直線のなす角、x軸の正の向きとのなす角とは??




今回の記事では数学Ⅰで学習する三角比の単元から

「2直線のなす角、\(x\)軸の正の向きとなす角とは」

についてサクッと解説しておきます。

 

難しく思える問題ではあるのですが、やり方を知ったら誰でも簡単に解けるようになりますよ(^^)

ポイントは以下の通りです。

\(x\)軸の正の向きとのなす角とは

上のポイントでも述べていますが、\(x\)軸の正の向きとのなす角とは

\(x\)軸から左回りにとった角のことをいいます。

見るべき角を間違えないようにしましょうね。

 

そして、この\(x\)軸の正の向きとの角を\(\theta\)として、\(\tan\theta\)の値を考えると、直線の傾きと等しくなるという特徴があります。

この性質を用いると、直線が\(x\)軸とどれくらいのなす角をしているのかを求めることができます。

【例題】

直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(x\)軸の正の向きとのなす角を求めなさい。

なす角を\(\theta\)とすると、直線の傾きは\(-\sqrt{3}\)なので

$$\tan\theta=-\sqrt{3}$$

と表すことができます。

\(\tan\)が何度のときに\(-\sqrt{3}\)になるのかっていうのは覚えておかなければなりませんが、ここから\(\theta=120°\)ということが読み取れます。

 

2直線のなす角の求め方

【問題】

2直線\(y=-x\)と\(y=\frac{1}{\sqrt{3}}x\)のなす鋭角を求めなさい。

2直線のなす角を求める場合には、上の章で紹介した\(x\)軸の正の向きとのなす角が役に立ちます。

まず、それぞれの直線の\(x\)軸の正の向きとのなす角を\(α,β\)とすると

2直線のなす角は\(α-β\)で表すことができますね。

 

αとβの大きさをそれぞれ求めると

$$\begin{eqnarray}\tanα&=&-1\\[5pt]α&=&135° \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\tanβ&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[5pt]β&=&30° \end{eqnarray}$$

このように求まりました。

よって、\(α-β=135-30=105°\)となります。

 

しかし!

求まった角度は105°、鈍角です。

問題では、なす鋭角を求めろと言われています。

鋭角というのは90°よりも小さい角のことです。

なので、答えとしては75°を解とします。

 

2直線のなす角には、鋭角と鈍角のものがあるのですが(直角の場合もあり)

問われているものに対して、最後に調整を加えるようにしてください。

切片がある場合にはどうする?

【問題】

2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x+2\)のなす鋭角を求めなさい。

グラフにして考えると、上のような場所になります。

んーーーー

中途半端な場所で分かりにくい!!

 

ですが、ちょっと発想を変えてみると簡単に解けます。

このように、\(y=x+2\)のグラフが原点を通るように平行移動してみましょう。

切片を無視して\(y=x\)のグラフにしちゃうってことだね。

これでも2直線のなす角は変わっていないことに気づくはずです。

 

つまり、2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x+2\)のなす角というのは

2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x\)のなす角を求めればOKってことになるね。

こうやって考えれば、上でやってきた問題と同じことだ!

 

2直線の\(x\)軸の正の向きとのなす角をそれぞれ\(α、β\)とすると

$$\begin{eqnarray}\tanα&=&-\sqrt{3}\\[5pt]α&=&120° \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\tanβ&=&1\\[5pt]β&=&45° \end{eqnarray}$$

よって、\(α-β=75°\)となりました。

以上より、2直線のなす鋭角は75°となりました。

 

原点を通らない場合でも、平行移動して考えればよい。

切片は無視してしまおう!ってことだね(^^)

切片がある場合の考え方

2直線\(y=ax+b\)と\(y=cx+d\)のなす角は

2直線\(y=ax\)と\(y=cx\)のなす角を考えればOK!

 

まとめ!

なす角を求めろ!

と言われると難しく感じてしまいますが単純な問題でしたね。

 

正の向きとのなす角がどこを表すのか。

tanの値と傾きが等しくなること。

この2点をしっかりと覚えておきましょう(^^)

 

 

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