数スタ運営部

数スタの公式LINEを開設しました!

友だち追加

 

数スタのオンラインショップ開設!

⇒ 数スタ STORE

中3受験生向けの演習課題を無料配布中!

【三角比】2直線のなす角、x軸の正の向きとのなす角とは??

今回の記事では数学Ⅰで学習する三角比の単元から

「2直線のなす角、\(x\)軸の正の向きとなす角とは」

についてサクッと解説しておきます。

 

難しく思える問題ではあるのですが、やり方を知ったら誰でも簡単に解けるようになりますよ(^^)

ポイントは以下の通りです。

\(x\)軸の正の向きとのなす角とは

上のポイントでも述べていますが、\(x\)軸の正の向きとのなす角とは

\(x\)軸から左回りにとった角のことをいいます。

見るべき角を間違えないようにしましょうね。

 

そして、この\(x\)軸の正の向きとの角を\(\theta\)として、\(\tan\theta\)の値を考えると、直線の傾きと等しくなるという特徴があります。

この性質を用いると、直線が\(x\)軸とどれくらいのなす角をしているのかを求めることができます。

【例題】

直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(x\)軸の正の向きとのなす角を求めなさい。

なす角を\(\theta\)とすると、直線の傾きは\(-\sqrt{3}\)なので

$$\tan\theta=-\sqrt{3}$$

と表すことができます。

\(\tan\)が何度のときに\(-\sqrt{3}\)になるのかっていうのは覚えておかなければなりませんが、ここから\(\theta=120°\)ということが読み取れます。

スポンサーリンク

2直線のなす角の求め方

【問題】

2直線\(y=-x\)と\(y=\frac{1}{\sqrt{3}}x\)のなす鋭角を求めなさい。

2直線のなす角を求める場合には、上の章で紹介した\(x\)軸の正の向きとのなす角が役に立ちます。

まず、それぞれの直線の\(x\)軸の正の向きとのなす角を\(α,β\)とすると

2直線のなす角は\(α-β\)で表すことができますね。

 

αとβの大きさをそれぞれ求めると

$$\begin{eqnarray}\tanα&=&-1\\[5pt]α&=&135° \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\tanβ&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[5pt]β&=&30° \end{eqnarray}$$

このように求まりました。

よって、\(α-β=135-30=105°\)となります。

 

しかし!

求まった角度は105°、鈍角です。

問題では、なす鋭角を求めろと言われています。

鋭角というのは90°よりも小さい角のことです。

なので、答えとしては75°を解とします。

 

2直線のなす角には、鋭角と鈍角のものがあるのですが(直角の場合もあり)

問われているものに対して、最後に調整を加えるようにしてください。

切片がある場合にはどうする?

【問題】

2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x+2\)のなす鋭角を求めなさい。

グラフにして考えると、上のような場所になります。

んーーーー

中途半端な場所で分かりにくい!!

 

ですが、ちょっと発想を変えてみると簡単に解けます。

このように、\(y=x+2\)のグラフが原点を通るように平行移動してみましょう。

切片を無視して\(y=x\)のグラフにしちゃうってことだね。

これでも2直線のなす角は変わっていないことに気づくはずです。

 

つまり、2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x+2\)のなす角というのは

2直線\(y=-\sqrt{3}x\)と\(y=x\)のなす角を求めればOKってことになるね。

こうやって考えれば、上でやってきた問題と同じことだ!

 

2直線の\(x\)軸の正の向きとのなす角をそれぞれ\(α、β\)とすると

$$\begin{eqnarray}\tanα&=&-\sqrt{3}\\[5pt]α&=&120° \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\tanβ&=&1\\[5pt]β&=&45° \end{eqnarray}$$

よって、\(α-β=75°\)となりました。

以上より、2直線のなす鋭角は75°となりました。

 

原点を通らない場合でも、平行移動して考えればよい。

切片は無視してしまおう!ってことだね(^^)

切片がある場合の考え方

2直線\(y=ax+b\)と\(y=cx+d\)のなす角は

2直線\(y=ax\)と\(y=cx\)のなす角を考えればOK!

スポンサーリンク

まとめ!

なす角を求めろ!

と言われると難しく感じてしまいますが単純な問題でしたね。

 

正の向きとのなす角がどこを表すのか。

tanの値と傾きが等しくなること。

この2点をしっかりと覚えておきましょう(^^)

 

スポンサーリンク

 

効率よく学習を進めていきたい方は必見!

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。