4乗!?複二次式の因数分解の解き方!途中式をていねいに解説するぞ!




今回は数学Ⅰで学習する因数分解の単元から

「複二次式の因数分解」

について取り上げていきます。

 

複二次式とは、\(ax^4+bx^2+c\) のような形になっている式のことをいいます。

そして、この複二次式を因数分解する場合

大きく分けて解き方は2通りあります。

  • \(x^2=X\) として置き換えを利用する。
  • 平方の差を作る。

 

【問題】ニューアクションβより

次の式を因数分解せよ。

(1)\(x^4-10x^2+9\)

(2)\(x^4-7x^2+1\)

(3)\(x^4+x^2y^2+y^4\)

(1)の解説!置き換えを利用して2次式にする。

(1)\(x^4-10x^2+9\)

複二次式の因数分解では、まず置き換えを考えてみましょう。

このように、\(x^2=X\)とおくことにより、見慣れた形の二次式にすることができました。

 

$$\begin{eqnarray}&&x^4-10x^2+9\\[5pt]&=&X^2-10X+9\\[5pt]&=&(X-9)(X-1)\\[5pt]&=&(x^2-9)(x^2-1)\\[5pt]&=&(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)\cdots(解) \end{eqnarray}$$

答え

$$(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$$

 

複二次式では、まず\(x^2=X\)とおいて二次式に変換することを考えてみましょう。

二次式に変換したとき、そこから因数分解ができるようであればそのまま進めていけばOK。

置き換えをしたのに因数分解ができない!?

という場合には、次で紹介する(2)のやり方をやっていきましょう。

(2)の解説!平方の差をつくる。

(2)\(x^4-7x^2+1\)

今回の問題では、(1)のように置き換えを利用すると

\(x^4-7x^2+1=X^2-7X+1\) となり、

…因数分解できないけど!!

と、困ったことになってしまいます(^^;)

 

こういう場合には、平方の差を作って因数分解を進めていきます。

平方の差とは、次のような形のことをいいます。

二乗ひく二乗の形を作ることができれば、上のように因数分解ができるようになりますね。

 

ということで、

置き換えを利用しても因数分解ができない複二次式については、

なんとか式変形をしながら、平方の差を作ることを考えていきます。

 

ここの式変形が慣れるまでは、ちょい難しいので

よく見ておいてくださいね!

 

まずは、\(x^4\)と\(1\)に注目をします。

$$\begin{eqnarray}x^4-7x^2+1=\color{red}{x^4+1}-7x^2 \end{eqnarray}$$

そして、\(x^4+1\)の部分が\((    )^2\)の形になるためには、どんなパーツが必要になるかを考えます。

すると、\(+2x^2\) または \(-2x^2\) であることが分かります。

 

これらのパーツを式の中に組み込んだとき、平方の差ができるのは\(+2x^2\)だと分かりますね。

 

このように、平方の差になるパターンを見つけることができれば、あとは因数分解を進めていくだけです。

 

$$\begin{eqnarray}&&x^4-7x^2+1\\[5pt]&=&(x^4+2x^2+1)-9x^2\\[5pt]&=&(x^2+1)^2-(3x)^2\\[5pt]&=&\{(x^2+1)+3x\}\{(x^2+1)-3x\}\\[5pt]&=&(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)\cdots(解) \end{eqnarray}$$

答え

$$(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)$$

 

平方の差を作る変形は理解してもらえたかな??

この変形については、たくさんの問題を解いて慣れていくといいよ!

記事下に練習問題を入れているので、そこで練習しておこうね!

(3)の解説!迷わず平方の差!

(3)\(x^4+x^2y^2+y^4\)

こちらの問題も(2)と同じく平方の差を利用していきます。

平方の差ができるパターンを見つけて因数分解を進めていきましょう。

 

$$\begin{eqnarray}&&x^4+x^2y^2+y^4\\[5pt]&=&(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2+x^2y^2\\[5pt]&=&(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\[5pt]&=&\{(x^2+y^2)+xy\}\{(x^2+y^2)-xy\}\\[5pt]&=&(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\cdots(解) \end{eqnarray}$$

答え

$$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$$

 

複二次式の因数分解【練習問題】

次の式を因数分解せよ。

(1)\(x^4-13x^2+36\)

(2)\(x^4+x^2+1\)

(3)\(x^4-7x^2y^2+y^4\)

(4)\(4x^4+1\)

解説&答えはこちら

答え

(1)\((x+2)(x-2)(x+3)(x-3)\)

(2)\((x^2-x+1)(x^2+x+1)\)

(3)\((x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)\)

(4)\((2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)\)

(1)\(x^2=X\) とおくと

$$\begin{eqnarray}&&x^4-13x^2+36\\[5pt]&=&X^2-13X+36\\[5pt]&=&(X-4)(X-9)\\[5pt]&=&(x^2-4)(x^2-9)\\[5pt]&=&(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) \end{eqnarray}$$

 

(2)平方の差を作る。

$$\begin{eqnarray}&&x^4+x^2+1\\[5pt]&=&(x^4+2x^2+1)-2x^2+x^2\\[5pt]&=&(x^2+1)^2-x^2\\[5pt]&=&\{(x^2+1)-x\}\{(x^2+1)+x\}\\[5pt]&=&(x^2-x+1)(x^2+x+1) \end{eqnarray}$$

 

(3)平方の差を作る。

$$\begin{eqnarray}&&x^4-7x^2y^2+y^4\\[5pt]&=&(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2-7x^2y^2\\[5pt]&=&(x^2+y^2)^2-(3xy)^2\\[5pt]&=&\{(x^2+y^2)+3xy\}\{(x^2+y^2)-3xy\}\\[5pt]&=&(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2) \end{eqnarray}$$

 

(4)平方の差を作る。

$$\begin{eqnarray}&&4x^4+1\\[5pt]&=&(4x^4+4x^2+1)-4x^2\\[5pt]&=&(2x^2+1)^2-(2x)^2\\[5pt]&=&\{(2x^2+1)-2x\}\{(2x^2+1)+2x\}\\[5pt]&=&(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1) \end{eqnarray}$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

複二次式の因数分解では、まず置き換えを考えてみること。

置き換えを利用しても因数分解がムリであれば平方の差を作る。

ということでした。

 

平方の差を作る式変形については、

今回の記事を通して、しっかりと身につけておいてくださいね!

 

高校数学で学習する因数分解は他にもたくさんあります。

⇒ 【まとめ】高校で学習する因数分解のやり方をぜんぶ解説!

こちらの記事でまとめているので参考にしてみてね(/・ω・)/

 

 

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