【数学A】集合の要素の個数の問題「できた・できない・どちらも~」




高校数学Aで学習する集合の単元から

「集合の要素の個数を求める問題」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

100人の生徒に英語と数学の試験を行ったところ,

英語の試験に合格した生徒は75人,2教科とも合格した生徒は17人,どちらにも合格しなかった生徒は11人であった。このとき,次のような生徒の人数を求めよ。

(1)少なくとも1教科だけ合格した生徒の人数

(2)数学の試験に合格した生徒の人数

この問題を解くためには、イメージを書いておくのが大事です!

 

倍数の個数を求める問題はこちらで解説しています。

>倍数の個数を求める問題、どうやって考えればいい??

ぜひ、ご参考ください(^^)

集合の要素の個数(1)の解説!

100人の生徒に英語と数学の試験を行ったところ,

英語の試験に合格した生徒は75人,2教科とも合格した生徒は17人,どちらにも合格しなかった生徒は11人であった。このとき,次のような生徒の人数を求めよ。

(1)少なくとも1教科だけ合格した生徒の人数

まずは、問題の情報を元にイメージ図をかいてみましょう!

 

そして、「少なくとも1教科に合格した生徒」というのは、

「英語に合格」または「数学に合格」のどちらか、または両方の生徒のことなので

ここの部分だってことが分かりますね。

これが分かれば、人数を求めるのは簡単!

 

全体の人数から「どちらにも合格しなかった」人数をを引けば求めることができますね。

よって、\(100-11=89\)人となります。

答え

$$89人$$

 

もうちょっと数学っぽく、式を用いて計算するなら次のように書くことができます。

英語の試験に合格した生徒の集合をA

数学の試験に合格した生徒の集合をBとすると,

少なくとも1教科に合格した生徒の集合は \(A\cup B\) となる。

よって、

$$\begin{eqnarray}n(A\cup B)&=&n(U)-n(\overline{ A\cup B })\\[5pt]&=&100-11\\[5pt]&=&89\cdots(解) \end{eqnarray}$$

式で書こうとするとちょっと難しく見えますね(^^;)

まぁ、イメージを書いて、図から個数を読み取れるのであれば大丈夫だと思います!

 

集合の要素の個数(2)の解説!

100人の生徒に英語と数学の試験を行ったところ,

英語の試験に合格した生徒は75人,2教科とも合格した生徒は17人,どちらにも合格しなかった生徒は11人であった。このとき,次のような生徒の人数を求めよ。

(2)数学の試験に合格した生徒の人数

数学の試験に合格した生徒は、

ここの部分のことですね。

 

(1)より、円2つの中には全部で89人の生徒がいると分かっています。

ですので、次の式に当てはめていけば数学の合格者数を求めることができます。

$$\begin{eqnarray}89&=&75+n(B)-17\\[5pt]n(B)&=&89-75+17\\[5pt]&=&31人 \end{eqnarray}$$

 

答え

$$31人$$

 

和集合の要素の個数が絡んでくるときには、

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) の形を利用していくようになるので、

これは絶対に覚えておいてくださいね!

 

集合の要素の個数【練習問題】

【問題】

100人の生徒が2つの試験A,Bを受験したところ,Aの合格者が65人,Bの合格者が72人,両方とも不合格の者は10人であった。このとき,次のような生徒の人数を求めよ。

(1)少なくとも一方に合格した生徒の人数

(2)両方とも合格した生徒の人数

解説&答えはこちら

答え

$$(1)90人$$

$$(2)47人$$

(1)

$$\begin{eqnarray}n(A\cup B)&=&n(U)-n(\overline{A\cup B})\\[5pt]&=&100-10=90 \end{eqnarray}$$

(2)

$$\begin{eqnarray}n(A\cap B)&=&n(A)+n(B)-n(A\cup B)\\[5pt]&=&65+72-90=47 \end{eqnarray}$$

 

【問題】

60人の生徒が2つの試験A,Bを受験したところ,両方とも不合格の者が7人,Aだけ合格の人が9人であった。このとき,次のような生徒の人数を求めよ。

(1)少なくとも一方に合格した生徒の人数

(2)Bに合格した生徒の人数

解説&答えはこちら

答え

$$(1)53人$$

$$(2)44人$$

(1)

$$\begin{eqnarray}n(A\cup B)&=&n(U)-n( \overline{A\cup B})\\[5pt]&=&60-7=53 \end{eqnarray}$$

(2)

$$\begin{eqnarray}n(B)&=&n(A\cup B)-n( \overline{A}\cap B)\\[5pt]&=&53-9=44 \end{eqnarray}$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

集合の要素の個数を考えるときには、イメージ図を利用するのが一番です。

数式で計算式を作ると、ちょっと難しく見えちゃうんもんね(^^;)

 

まぁ、慣れてくれば数式を利用した方が計算が速くなりますので、

まずはたくさん練習問題をこなしていきましょう!

 

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