3つの集合の要素の個数、イメージ図を使いながら求め方を解説!




高校数学Aで学習する集合の単元から

「3つの集合の要素の個数」

について解説していきます。

 

集合が3つになるとイメージが難しくなるよね(^^;)

この記事では、画像を使いながら

なるべーくかみ砕きながら解説していきますね!

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

1から200までの整数のうち,3または5または7で割り切れる数は全部でいくつあるか求めよ。

 

3つの集合の和集合の個数を求めるには?

3つの集合の和集合を求めるにはどうすればよいでしょうか。

まず、2つの集合の場合について確認しておきましょう。

「それぞれの集合の個数を足して、重なっている部分を引く」でしたね。

 

では、これが3つの集合になると

だいぶややこしくなりますが、こんな感じで求めることができます。

まずは、それぞれの集合の個数を足す。

次に、2つの集合が重なっている部分を引く。

最後に、3つの集合が重なっている部分を足す。

という手順になります。

 

なんで、最後に3つの重なり部分を足す必要があるの?

という疑問をいただくことが多いのですが、

2つの集合が重なっている部分をすべて引いていくと、

上の画像のように、3つ重なっている部分がなくなってしまうんですね。

なので、最後にこの部分を補ってあげる必要があるってわけです。

3つの集合の問題解説

【問題】

1から200までの整数のうち,3または5または7で割り切れる数は全部でいくつあるか求めよ。

3で割り切れる数の集合をAとすると

\(A=\{3\cdot 1, \cdots ,3\cdot 66 \}\)  ⇒  \(n(A)=66\)

5で割り切れる数の集合をBとすると

\(B=\{5\cdot 1, \cdots ,5\cdot 40 \}\)  ⇒  \(n(B)=40\)

7で割り切れる数の集合をC とすると

\(C=\{7\cdot 1, \cdots ,7\cdot 28 \}\)  ⇒  \(n(C)=28\)

 

\(A\cap B\) は3と5の最小公倍数15で割り切れる数の集合だから

\(A\cap B=\{15\cdot 1, \cdots ,15\cdot 13 \}\)  ⇒  \(n(A\cap B)=13\)

\(B\cap C\) は5と7の最小公倍数35で割り切れる数の集合だから

\(B\cap C=\{35\cdot 1, \cdots ,35\cdot 5 \}\)  ⇒  \(n(B\cap C)=5\)

\(A\cap C\) は3と7の最小公倍数21で割り切れる数の集合だから

\(A\cap C=\{21\cdot 1, \cdots ,21\cdot 9 \}\)  ⇒  \(n(A\cap C)=9\)

\(A\cap B\cap C\) は3と5と7の最小公倍数105で割り切れる数の集合だから

\(A\cap B\cap C=\{105\cdot 1\}\)  ⇒  \(n(A\cap B\cap C)=1\)

 

よって、\(n(A\cup B\cup C)\) は次のように求めることができます。

$$\begin{eqnarray}&&n(A\cup B\cup C)\\[5pt]&=&n(A)+n(B)+n(C)\\[5pt]&&-n(A\cap B)-n(B \cap C)-n(A\cap C)\\[5pt]&&+n(A\cap B \cap C)\\[5pt]&=&66+40+28-13-5-9+1\\[5pt]&=&108 \end{eqnarray}$$

答え

$$108個$$

 

ちょっと違ったパターンにも挑戦!

【問題】

3つの集合A,B,Cがある。

\(n(U)=100\),  \(n(A)=50\), \(n(B)=13\),  \(n(C)=30\),  \(n(A\cap C)=9\)

\(n(B\cap C)=10\),  \(n(A\cap B\cap C)=3\),  \(n(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=28\)

このとき,\(n(A\cap B)\), \(n(A\cap\overline{B}\cap \overline{C})\) を求めよ。

 

まずは、 \(n(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=28\) から \(n(A\cup B\cup C)\) を求めましょう。

$$\begin{eqnarray}n(A\cup B\cup C)&=&n(U)-n(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})\\[5pt]&=&100-28=72 \end{eqnarray}$$

次に、3つの和集合を求める式に分かっている値を当てはめていきます。

$$\begin{eqnarray}&&n(A\cup B\cup C)\\[5pt]&=&n(A)+n(B)+n(C)\\[5pt]&&-n(A\cap B)-n(B \cap C)-n(A\cap C)\\[5pt]&&+n(A\cap B \cap C)\\[5pt]72&=&50+13+30-n(A\cap B)-10-9+3\\[5pt]n(A\cap B)&=&5 \end{eqnarray}$$

 

\(n(A\cap\overline{B}\cap \overline{C})\) というのは、

ここの部分のことですね。

つまり、3つの和集合からBとCの和集合を取り除いた部分ということになります。

よって、

$$\begin{eqnarray}&&n(A\cap\overline{B}\cap \overline{C})\\[5pt]&=&n(A\cup B\cup C)-n(B\cup C)\\[5pt]&=&72-\{n(B)+n(C)-n(B\cap C)\}\\[5pt]&=&72-(13+30-10)\\[5pt]&=&39 \end{eqnarray}$$

答え

$$n(A\cap B)=5$$

$$n(A\cap\overline{B}\cap \overline{C})=39$$

まとめ!

お疲れ様でした!

3つの集合になるとちょっとイメージが難しいのですが、

次の式をしっかりと覚えておいてくださいね!

この式を用いることで、いろんな部分の個数を求めることができるようになります。

これで得点アップ間違いなしですね(/・ω・)/

 

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2 件のコメント

  • なな より:

    ちょっと違ったパターンに…というやつで
    100-28が77になる意味がわかんないですね

    • 数スタ運営者 より:

      訂正しておきました!

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