【数学A】組み分けの場合の数の求め方・考え方をイチから解説!




高校数学Aで学習する場合の数の単元から

「組み分けの場合の数」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

9人を次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)4人,3人,2人の3組に分ける。

(2)3人ずつA,B,Cの3組に分ける。

(3)3人ずつ3組に分ける。

(4)5人,2人,2人の3組に分ける。

 

組み分けの問題では、

「分けるものが区別できるかどうか」

が大事なポイントとなります。

問題(1)(2) 区別できるパターン

9人を次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)4人,3人,2人の3組に分ける。

4人、3人、2人という分け方は、分けるものに名前がついていませんが、人数が異なることから3組は区別できると判断します。

分けるものが区別できる場合は簡単!

まず、9人の中から4人を選ぶ。 ⇒ \(_{9}C_{4}\)

次に残った5人の中から3人を選ぶ。 ⇒ \(_{5}C_{3}\)

そして、最後の2人の中から2人を選ぶ。 ⇒ \(_{2}C_{2}\)(必ず1通りになるので省略してOK)

 

よって、

$$\begin{eqnarray}&&_{9}C_{4}\times _{5}C_{3}\times _{2}C_{2}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\times 1\\[5pt]&=&1260通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

答え

$$(1) 1260通り$$

 

(2)3人ずつA,B,Cの3組に分ける。

今度の分け方は、人数が同じになっていますが、組に名前がついていることから3組は区別できると判断します。

組が区別できる場合には、Cを使って順に計算していけばOKです。

まず、9人の中から3人を選ぶ。 ⇒ \(_{9}C_{3}\)

次に残った6人の中から3人を選ぶ。 ⇒ \(_{6}C_{3}\)

そして、最後の3人の中から3人を選ぶ。 ⇒ \(_{3}C_{3}\)(必ず1通りになるので省略してOK)

 

よって、

$$\begin{eqnarray}&&_{9}C_{3}\times _{6}C_{3}\times _{3}C_{3}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\times 1\\[5pt]&=&1680通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

答え

$$(2) 1680通り$$

 

ポイント!

人数が違う、組に名前がついているなど

分ける組が区別できる場合、\(C\)を使って計算を進めていく。

 

問題(3)(4) 区別できないパターン

9人を次のように分ける方法は何通りあるか。

(3)3人ずつ3組に分ける。

分ける組の人数が同じ、組に名前がついていないことから、3組は区別ができないと判断します。

分ける組に区別ができないとき、区別ができるときには次のような関係があります。

区別できないときには、3人ずつに分けたら終わりです。

一方で区別ができるときには、3人ずつに分けた後、どの組み入れるかまで考えます。

よって、区別できないときの1通りに対して、区別できるときには A,B,Cの順列 \(3!\) 分だけあるということになります。

逆に考えると、区別できないときは、区別できるときの場合の数を \(\div 3!\) すれば求めることができるということになりますね。

 

区別できる場合は、Cを使って簡単に計算することができますので、

  1. 区別できる場合を求める。
  2. 区別できない組の数の階乗で割る。
  3. 区別できない場合の数が求まる。
という手順で計算していきましょう。

 

よって、求める場合の数は

$$\begin{eqnarray}&&\frac{_{9}C_{3}\times _{6}C_{3}\times _{3}C_{3}}{3!}\\[5pt]&=&\frac{1680}{6}\\[5pt]&=&280通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

答え

$$(3) 280通り$$

 

(4)5人,2人,2人の3組に分ける。

5人,2人,2人の中で区別ができないのは「2人,2人」の2組だけです。

よって、次のように求めることができます。

 

$$\begin{eqnarray}&&\frac{_{9}C_{5}\times _{4}C_{2}\times _{2}C_{2}}{2!}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\times \frac{1}{2}\\[5pt]&=&378通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

答え

$$(4) 378通り$$

 

ポイント!

分ける組が区別できないときは、

区別できるときの場合の数を求めて、区別できない組の数の階乗で割る。

 

練習問題に挑戦!

【問題】

10冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)5冊,3冊,2冊の3組に分ける。

(2)5冊ずつA,Bの2組に分ける。

(3)5冊ずつ2組に分ける。

(4)4冊,3冊,3冊の3組に分ける。

解答・解説はこちら

答え

(1)\(2520\)通り

(2)\(252\)通り

(3)\(126\)通り

(4)\(2100\)通り

$$\begin{eqnarray}(1) _{10}C_{5}\times _{5}C_{3}\times _{2}C_{2}=2520 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}(2) _{10}C_{5}\times _{5}C_{5}=252 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}(3)\frac{ _{10}C_{5}\times _{5}C_{5}}{2!}=126 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}(4)\frac{ _{10}C_{4}\times _{6}C_{3}\times _{3}C_{3}}{2!}=2100 \end{eqnarray}$$

まとめ!

お疲れ様でした!

組み分けの問題はテストや入試で出題されやすいので、とっても重要ですね。

ポイントとしては、冒頭でも述べた通り「区別できるか、できないか」

区別できる場合は、Cでそのまま計算。

区別できない場合は、できる場合に比べて数が減ってしまいます。

そのため、区別できない組の数の階乗で割ってあげるようにしましょう。

 

この考え方が身についていれば、組み分けの問題は簡単です。

サクッと得点しちゃいましょう(/・ω・)/

 

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