【数学A】組み分けの場合の数の求め方・考え方をイチから解説！

高校数学Aで学習する場合の数の単元から

「組み分けの場合の数」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら！

 

組み分けの問題では、

「分けるものが区別できるかどうか」

が大事なポイントとなります。

 

今回の内容はこちらの動画でも解説しています！

問題(1)(2) 区別できるパターン

4人、3人、2人という分け方は、分けるものに名前がついていませんが、人数が異なることから3組は区別できると判断します。

分けるものが区別できる場合は簡単！

まず、9人の中から4人を選ぶ。　⇒　\(_{9}C_{4}\)

次に残った5人の中から3人を選ぶ。　⇒　\(_{5}C_{3}\)

そして、最後の2人の中から2人を選ぶ。　⇒　\(_{2}C_{2}\)（必ず1通りになるので省略してOK）

 

よって、

$$\begin{eqnarray}&&_{9}C_{4}\times _{5}C_{3}\times _{2}C_{2}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\times 1\\[5pt]&=&1260通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

 

今度の分け方は、人数が同じになっていますが、組に名前がついていることから3組は区別できると判断します。

組が区別できる場合には、Cを使って順に計算していけばOKです。

まず、9人の中から3人を選ぶ。　⇒　\(_{9}C_{3}\)

次に残った6人の中から3人を選ぶ。　⇒　\(_{6}C_{3}\)

そして、最後の3人の中から3人を選ぶ。　⇒　\(_{3}C_{3}\)（必ず1通りになるので省略してOK）

 

よって、

$$\begin{eqnarray}&&_{9}C_{3}\times _{6}C_{3}\times _{3}C_{3}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\times 1\\[5pt]&=&1680通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

 

 

問題(3)(4) 区別できないパターン

分ける組の人数が同じ、組に名前がついていないことから、3組は区別ができないと判断します。

分ける組に区別ができないとき、区別ができるときには次のような関係があります。

区別できないときには、3人ずつに分けたら終わりです。

一方で区別ができるときには、3人ずつに分けた後、どの組み入れるかまで考えます。

よって、区別できないときの1通りに対して、区別できるときには A,B,Cの順列 \(3!\) 分だけあるということになります。

逆に考えると、区別できないときは、区別できるときの場合の数を \(\div 3!\) すれば求めることができるということになりますね。

 

区別できる場合は、Cを使って簡単に計算することができますので、

という手順で計算していきましょう。

 

よって、求める場合の数は

$$\begin{eqnarray}&&\frac{_{9}C_{3}\times _{6}C_{3}\times _{3}C_{3}}{3!}\\[5pt]&=&\frac{1680}{6}\\[5pt]&=&280通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

 

5人，2人，2人の中で区別ができないのは「2人，2人」の2組だけです。

よって、次のように求めることができます。

 

$$\begin{eqnarray}&&\frac{_{9}C_{5}\times _{4}C_{2}\times _{2}C_{2}}{2!}\\[5pt]&=&\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot3\cdot 2\cdot 1} \times \frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\times \frac{1}{2}\\[5pt]&=&378通り\cdots (解)\end{eqnarray}$$

となります。

 

 

練習問題に挑戦！

まとめ！

お疲れ様でした！

組み分けの問題はテストや入試で出題されやすいので、とっても重要ですね。

ポイントとしては、冒頭でも述べた通り「区別できるか、できないか」

区別できる場合は、Cでそのまま計算。

区別できない場合は、できる場合に比べて数が減ってしまいます。

そのため、区別できない組の数の階乗で割ってあげるようにしましょう。

 

この考え方が身についていれば、組み分けの問題は簡単です。

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