今回は高校数学Aで学習する確率の単元から
『数直線上を点が移動する確率』
について解説していきます。
取り上げる問題はこちらだ！
数直線上の点Pは、原点を出発点として、1回サイコロを投げるごとに、5以上の目が出ると正の向きに2進み、他の目が出ると負の向きに1進む。
サイコロを6回投げるとき、Pが座標6の点にくる確率を求めよ。
数直線、点が動く確率の考え方と解き方！
5以上の目が出ると正の向きに2進む。
他の目が出ると負の向きに1進む。
これを5回繰り返し
点Pが座標6の上にいる確率を考えたい。
これを解いていくためにはサイコロを6回投げたとき
5以上の目、他の目がそれぞれ何回ずつ出たのかを求める必要があります。
5以上の目が\(x\)回、他の目が\(y\)回出るとちょうど6の座標にくるとすると。
サイコロを合計で6回投げているので、\(x+y=6\)という式ができます。
更に
正の方向に2進むのが\(x\)回だから、\(+2x\)進んだことになり
負の方向に1進むのが\(y\)回だから、\(-y\)進んだことになります。
よって、合計で\(2x-y\)進むと表せます。
つまり、\(2x-y=6\)という式ができます。
以上より、連立方程式を用いて次のように表せます。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 6 \\ 2x – y = 6 \end{array} \right. \end{eqnarray}
この方程式を解くと
$$x=4, y=2$$
ということが分かります。
つまり
5以上の目が4回
他の目が2回出れば点Pは6の場所にくるということが分かりました。
ここまで分かれば、あとは反復試行の公式に当てはめて考えていきます。
5以上の目が出る確率は、\(\displaystyle{\frac{1}{3}}\)であり
他の目が出る確率は、\(\displaystyle{\frac{2}{3}}\)であるから
$${}_6 \mathrm{ C }_4\left(\frac{1}{3}\right)^4\left(\frac{2}{3}\right)^2$$
$$=15\times \frac{1}{81}\times \frac{4}{9}$$
$$=\frac{20}{243}$$
答え
$$\frac{20}{243}$$
以上！
数直線を動く問題では、それぞれが何回ずつ動くのかを求める必要があります。
何回ずつ動くかが分かれば反復試行の公式に当てはめていけばOKです。
それでは、練習問題を通して理解を深めていきましょう。
練習問題で理解を深める！
まとめ！
お疲れ様でした！
数直線上を点が動く確率の問題では
- それぞれの回数を求める
- 反復試行の公式に当てはめる
この手順を踏めば簡単に求めることができますね(^^)
たくさん練習して、確実に解けるようにしておきましょう。
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