【数学A】サイコロの最大値が5、最小値が2になる確率はどうやって考える?




高校数学Aで学習する確率の単元から

「さいころの目の最大値・最小値」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。

(1)目の最大値が3以下となる確率

(2)目の最大値が3となる確率

【問題】

3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。

さいころの目の最大値が3以下、3になる確率

【問題】

4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。

(1)目の最大値が3以下となる確率

まず、4個のさいころを同時に投げるとき

すべての目の出方は、\(6^4\)  通りとなります。

あとで分数に形にして約分できることを考えて、\(6^4\)は計算せず、このままの形にしておきます。

 

次に、さいころの目の最大値が3以下というのは、

どの目も \(1,2,3\) (3通り)のどれかということになります。

よって、目の出方は \(3^4\) 通りですね。

 

以上より、求める確率は

\(\frac{3^4}{6^4}=\left(\frac{3}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{2} \right)^4=\frac{1}{16}\)

答え

$$(1)\frac{1}{16}$$

 

目の最大値が3以下となる確率には、

最大値が3になる場合、2になる場合、1になる場合

これらがすべて含まれた状態になります。

 

(2)目の最大値が3となる確率

では、こちらの問題では

先ほどの最大値が3以下になる場合から

最大値が2になる、1になる場合(最大値が2以下となる)を引いてやればよいと考えます。

 

最大値が2以下となる確率は(1)と同様に、

\(\frac{2^4}{6^4}=\left(\frac{2}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{3} \right)^4=\frac{1}{81}\)

 

以上より、

\(\frac{1}{16}-\frac{1}{81}=\frac{65}{1296}\)

答え

$$(2)\frac{65}{1296}$$

 

では、さいころの最大値を求めるポイントをまとめておきます。

【さいころの最大値】

【さいころの最小値】

さいころの目の最大値が5,最小値が2となる確率

【問題】

3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。

最大値と最小値を同時に指定される場合は、

ちょっと考え方が難しくなります。

 

考え方のイメージとしては、こんな感じ!

目の最大値が5,最小値が2ってことは、1と6の目は出てこない。

ってことで、2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率を考える。

⇒  \(\frac{4^3}{6^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\)

 

ただし、この場合の数の中には、

\((3,4,5)\) のように2の目が出ていないからダメ

⇒ 3, 4, 5 のいずれかしか使われていないAパターン。

 

\((2,3,3)\) のように 5の目が出ていないからダメ

⇒ 2, 3, 4 のいずれかしか使われていないBパターン。

以上の2パターンが含まれていることになります。

 

なので、

2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率から

AパターンまたはBパターンを取り除いてやればいいと考えます。

AまたはBを取り除くときには、「AかつB」の部分があることに気を付けてください。

 

すると、

パターンA(2,3,4の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

パターンB(3,4,5の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

パターンAかつB(3,4の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{2^3}{6^3}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)

 

以上より、

$$\begin{eqnarray} &&\frac{8}{27}-\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{27}\right)\\[5pt]&=&\frac{1}{12}\end{eqnarray}$$

答え

$$\frac{1}{12}$$

 

最小値、最大値が与えられたときのポイントをまとめておきます。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最大値、最小値がともに与えられた場合がちょっと難しいですね(^^;)

以下の画像を元に、最大・最小のイメージを固めておいてくださいね!

 

 

 

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