【数学A】サイコロの最大値が5、最小値が2になる確率はどうやって考える?

高校数学Aで学習する確率の単元から

「さいころの目の最大値・最小値」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。

(1)目の最大値が3以下となる確率

(2)目の最大値が3となる確率

【問題】

3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。

さいころの目の最大値が3以下、3になる確率

【問題】

4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。

(1)目の最大値が3以下となる確率

まず、4個のさいころを同時に投げるとき

すべての目の出方は、\(6^4\)  通りとなります。

あとで分数に形にして約分できることを考えて、\(6^4\)は計算せず、このままの形にしておきます。

 

次に、さいころの目の最大値が3以下というのは、

どの目も \(1,2,3\) (3通り)のどれかということになります。

よって、目の出方は \(3^4\) 通りですね。

 

以上より、求める確率は

\(\frac{3^4}{6^4}=\left(\frac{3}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{2} \right)^4=\frac{1}{16}\)

答え

$$(1)\frac{1}{16}$$

 

目の最大値が3以下となる確率には、

最大値が3になる場合、2になる場合、1になる場合

これらがすべて含まれた状態になります。

 

(2)目の最大値が3となる確率

では、こちらの問題では

先ほどの最大値が3以下になる場合から

最大値が2になる、1になる場合(最大値が2以下となる)を引いてやればよいと考えます。

 

最大値が2以下となる確率は(1)と同様に、

\(\frac{2^4}{6^4}=\left(\frac{2}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{3} \right)^4=\frac{1}{81}\)

 

以上より、

\(\frac{1}{16}-\frac{1}{81}=\frac{65}{1296}\)

答え

$$(2)\frac{65}{1296}$$

 

では、さいころの最大値を求めるポイントをまとめておきます。

【さいころの最大値】

【さいころの最小値】

さいころの目の最大値が5,最小値が2となる確率

【問題】

3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。

最大値と最小値を同時に指定される場合は、

ちょっと考え方が難しくなります。

 

考え方のイメージとしては、こんな感じ!

目の最大値が5,最小値が2ってことは、1と6の目は出てこない。

ってことで、2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率を考える。

⇒  \(\frac{4^3}{6^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\)

 

ただし、この場合の数の中には、

\((3,4,5)\) のように2の目が出ていないからダメ

⇒ 3, 4, 5 のいずれかしか使われていないAパターン。

 

\((2,3,3)\) のように 5の目が出ていないからダメ

⇒ 2, 3, 4 のいずれかしか使われていないBパターン。

以上の2パターンが含まれていることになります。

 

なので、

2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率から

AパターンまたはBパターンを取り除いてやればいいと考えます。

AまたはBを取り除くときには、「AかつB」の部分があることに気を付けてください。

 

すると、

パターンA(2,3,4の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

パターンB(3,4,5の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

パターンAかつB(3,4の目が出る)の確率

⇒ \(\frac{2^3}{6^3}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)

 

以上より、

$$\begin{eqnarray} &&\frac{8}{27}-\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{27}\right)\\[5pt]&=&\frac{1}{12}\end{eqnarray}$$

答え

$$\frac{1}{12}$$

 

最小値、最大値が与えられたときのポイントをまとめておきます。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最大値、最小値がともに与えられた場合がちょっと難しいですね(^^;)

以下の画像を元に、最大・最小のイメージを固めておいてくださいね!

 

 

 

高校入試で使える公式集をプレゼント!


 
高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました!
 
定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。
学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/

これは知らないと損をするかも…!?
 
無料の中学生メルマガ講座にご登録いただいた方に、
高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。
 
こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください!

ご登録いただいたメールアドレスに教材を送らせていただきます。
 
 
中学生メルマガ講座では、今回のプレゼントのほか
  • オリジナルの入試教材
  • 入試問題の詳しい解説データ
  • ZOOMを使った個別指導


などのプレゼント企画をやっております。
 
登録は1分もあれば完了します。
ぜひ、こちらから中学生メルマガ講座に登録してみてくださいね(^^)









コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。