高校数学Aで学習する確率の単元から
「さいころの目の最大値・最小値」
について解説していきます。
取り上げる問題はこちら!
【問題】
4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。
(1)目の最大値が3以下となる確率
(2)目の最大値が3となる確率
【問題】
3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。
今回の内容はこちらの動画でも解説しています!
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さいころの目の最大値が3以下、3になる確率
【問題】
4個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ。
(1)目の最大値が3以下となる確率
まず、4個のさいころを同時に投げるとき
すべての目の出方は、\(6^4\) 通りとなります。
あとで分数に形にして約分できることを考えて、\(6^4\)は計算せず、このままの形にしておきます。
次に、さいころの目の最大値が3以下というのは、
どの目も \(1,2,3\) (3通り)のどれかということになります。
よって、目の出方は \(3^4\) 通りですね。
以上より、求める確率は
\(\frac{3^4}{6^4}=\left(\frac{3}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{2} \right)^4=\frac{1}{16}\)
答え
$$(1)\frac{1}{16}$$
目の最大値が3以下となる確率には、
最大値が3になる場合、2になる場合、1になる場合
これらがすべて含まれた状態になります。
では、こちらの問題では
先ほどの最大値が3以下になる場合から
最大値が2になる、1になる場合(最大値が2以下となる)を引いてやればよいと考えます。
最大値が2以下となる確率は(1)と同様に、
\(\frac{2^4}{6^4}=\left(\frac{2}{6} \right)^4=\left(\frac{1}{3} \right)^4=\frac{1}{81}\)
以上より、
\(\frac{1}{16}-\frac{1}{81}=\frac{65}{1296}\)
答え
$$(2)\frac{65}{1296}$$
では、さいころの最大値を求めるポイントをまとめておきます。
【さいころの最小値】
さいころの目の最大値が5,最小値が2となる確率
【問題】
3個のさいころを同時に投げるとき,目の最大値が5,最小値が2となる確率を求めよ。
最大値と最小値を同時に指定される場合は、
ちょっと考え方が難しくなります。
考え方のイメージとしては、こんな感じ!
目の最大値が5,最小値が2ってことは、1と6の目は出てこない。
ってことで、2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率を考える。
⇒ \(\frac{4^3}{6^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\)
ただし、この場合の数の中には、
\((3,4,5)\) のように2の目が出ていないからダメ
⇒ 3, 4, 5 のいずれかしか使われていないAパターン。
\((2,3,3)\) のように 5の目が出ていないからダメ
⇒ 2, 3, 4 のいずれかしか使われていないBパターン。
以上の2パターンが含まれていることになります。
なので、
2,3,4,5 の 4つの目がいずれかが出る確率から
AパターンまたはBパターンを取り除いてやればいいと考えます。
AまたはBを取り除くときには、「AかつB」の部分があることに気を付けてください。
すると、
パターンA(2,3,4のいずれかの目が出る)の確率
⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)
パターンB(3,4,5のいずれかの目が出る)の確率
⇒ \(\frac{3^3}{6^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)
パターンAかつB(3,4のどちらかの目が出る)の確率
⇒ \(\frac{2^3}{6^3}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)
以上より、
$$\begin{eqnarray} &&\frac{8}{27}-\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{27}\right)\\[5pt]&=&\frac{1}{12}\end{eqnarray}$$
答え
$$\frac{1}{12}$$
最小値、最大値が与えられたときのポイントをまとめておきます。
まとめ!
お疲れ様でした!
最大値、最小値がともに与えられた場合がちょっと難しいですね(^^;)
以下の画像を元に、最大・最小のイメージを固めておいてくださいね!
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