【場合の数】大中小3つのサイコロを投げるとき何通り?奇数、偶数?4の倍数?

高校数学Aで学習する場合の数の単元から

「大中小3つのサイコロを投げるときの場合の数」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

大中小3個のさいころを投げるとき,次の場合は何通りあるか。

(1)3個の目がすべて異なる。

(2)少なくとも2個が同じ目になる。

(3)目の和が奇数になる。

(4)目の積が偶数になる。

(5)目の積が3の倍数になる。

(6)目の積が4の倍数になる。

 

(1)3個の目がすべて異なる。

(1)3個の目がすべて異なる。

これは簡単!

大のさいころの目の選び方は6通り。

中のさいころの目は、大で出た目以外になるので5通り。

小のさいころの目は、大中で出た目以外になるので4通り。

 

以上より、\(6\times 5\times 4=120\)通りとなります。

答え

$$120通り$$

(2)少なくとも2個が同じ目になる。

(2)少なくとも2個が同じ目になる。

「少なくとも~」ときたら余事象を考えるのがポイント!

少なくとも2個が同じ目の余事象は、

1つも同じ目が出ない。つまり、「3個の目がすべて異なる」ってことで(1)と同じになります。

 

大中小3個のさいころの目の出方は、\(6\times 6\times 6=216\)通り。

よって、\(216-120=96\)通りとなります。

 

答え

$$96通り$$

 

(3)目の和が奇数になる。

(3)目の和が奇数になる。

3つのさいころの目の和が奇数となるのは、

  • 奇数+奇数+奇数(3個とも奇数)
  • 奇数+偶数+偶数(1個だけ奇数)
この2パターンであることが分かります。

分かりますっていうか、偶数と奇数の組み合わせをいろいろ試しながら自分で発見してください。

 

では、3個とも奇数になる場合の数を求めてみましょう。

奇数は1,3,5の3通りですから、大中小のさいころそれぞれの目の出方は3通りあります。

よって、\(3\times 3\times 3=27\)通り。

 

次に、1個だけ奇数になる場合の数を考えてみましょう。

大のさいころが奇数(3通り)、中小のさいころが偶数(3通り)になるとき

\(3\times 3\times 3=27\)通り。

同様に、中、小のさいころが奇数になる場合もそれぞれ27通りとなります。

 

以上より、\(27+27\times 3=108\)通り。

 

答え

$$108通り$$

 

(4)目の積が偶数になる。

(4)目の積が偶数になる。

目の積が偶数になるパターンは非常に多い!

なので、余事象「目の積が奇数になる」を考えることで求めていきましょう。

 

かけ算をして奇数になるためには、すべての値が奇数である必要があります。

よって、目の積が奇数となるのは、\(3\times 3\times 3=27\)通りです。

 

以上より、全体から余事象の27通りを引けばいいので

\(216-27=189\)通りとなります。

 

答え

$$189通り$$

 

(5)目の積が3の倍数になる。

(5)目の積が3の倍数になる。

目の積が3の倍数となるためには、いずれかのさいころに3または6の目が出ている必要があります。

ですが、これを考えるのはちょっと複雑…

なので、これも余事象「目の積が3の倍数にならない」を考えていきましょう。

目の積が3の倍数にならないためには、すべてのさいころが「1,2,4,5」のいずれかである必要があります。

よって、余事象の場合の数は \(4\times 4\times 4=64\)通り。

 

以上より、全体から余事象の64通りを引けばいいので

\(216-64=152\)通りとなります。

 

答え

$$152通り$$

 

(6)目の積が4の倍数になる。

(6)目の積が4の倍数になる。

目の積が4の倍数となるのは、

偶数の目が2つ以上ある。4の目が1つでも含まれている。

という場合になるのですが…

そのまま考えると複雑すぎて厳しいです(^^;)

 

なので、これも余事象「目の積が4の倍数にならない」を考えていきましょう。

では、積が4の倍数にならないというのは、どのようなパターンがあるのでしょうか。

  • すべての目が奇数になる。
  • 4以外の偶数が1つ(2か6)、奇数が2つになる。
以上、2つのパターンとなります。

では、すべての目が奇数となるパターンから場合の数を求めてみましょう。

奇数(1,3,5)の3通りですから、

\(3\times 3\times 3=27\)通り。

 

次に、4以外の偶数が1つ(2または6)、奇数が2つとなるパターン。

大のさいころが4以外の偶数(2通り)、中小のさいころが奇数(3通り)になるとき

\(2\times 3\times 3=18\)通り。

同様に、中、小のさいころが4以外の偶数になる場合もそれぞれ18通りとなります。

 

以上より、目の積が4の倍数とならないのは \(27+18\times 3=81\)通り。

全体から余事象の81通りを引けばいいので

\(216-81=135\)通りとなります。

 

答え

$$135通り$$

まとめ!

お疲れ様でした!

さいころが3つになると考え方がちょっと複雑になりますが、

余事象を上手く活用するのがポイントですね。

 

奇数、偶数、〇の倍数など

初見では難しいパターンもありますので、たくさんの問題に触れながら理解を深めていきましょう(/・ω・)/

 

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