【反復試行の確率】なぜこんな公式になるの？Cを使う理由は？

今回は数学Aで学習する確率の単元から

『反復試行の確率公式』

について学習していきましょう。

反復試行の確率を苦手としている人は多い！

なぜなら公式が難しく見えちゃうから…だね(^^;)

だけど、ちゃんと意味を理解して公式を覚えることができれば

あれ、簡単じゃね！

となるはずです。

今回はそんな反復試行の公式の考え方を１から見ていきましょう。

反復試行の公式

反復試行の公式

1回の施行で事象Aの起こる確率が\(p\)で、この試行を\(n\)回繰り返し行うとき、Aがちょうど\(r\)回起こる確率は

$$\large{{}_n \mathrm{ C }_rp^rq^{n-r}}$$

んーーーー難しいｗ

記号が多すぎて、何を言ってるのか分からんですね(^^;)

なので、この公式の意味を1つずつかみ砕いていきましょう。

それでは次の問題を取り上げて反復試行の考え方について触れていきます。

公式のなぜ

さいころを投げて3の目が出る確率は\(\displaystyle{\frac{1}{6}}\)であり、3の目以外が出る確率は\(\displaystyle{\frac{5}{6}}\)となりますね。

更に、さいころを3回投げて3の目がちょうど2回出るというのは次のようなパターンが考えられます。

1回目と2回目に出るパターン

1回目と3回目に出るパターン

2回目と3回目に出るパターンの3つが考えられます。

それでは、それぞれのパターンにおいて確率を求めていきましょう。

1回目と2回目に3の目が出る確率は

同様に他のパターンも考えると

このようになりました。

これらの確率を合計すれば、答えが求まるわけなんですが…

何か気付いたことがありますよね？

ぜんぶ一緒やんけ！！

ということです。

そうなんです。

反復試行の場合、考えなければいけないパターンはたくさんあるのですが、それぞれのパターンにおいての確率は全部同じになってしまうんですね。

だったら…

1パターンの確率を求めてしまって、あとはそれが何パターンあるのかを計算すればOK！ということになります。

これで、だいぶ楽に計算ができるようになりますね。

更に…

今回は全部で3パターンだということが簡単に分かったけど、これを手作業で数えるのってめんどくね？ってなるわけです。

どうせなら、ここも簡単に計算ができると嬉しいですよね。

そこで出てくるのが、Cです。

3回中、2回〇になるのが何通りあるか求めたいので

$${}_3 \mathrm{ C }_2=\frac{3\cdot 2}{2\cdot 1}=3$$

を計算することによって、3通りあることがすぐにわかります。

よって、この問題の反復試行はこのように解くことができました。

このような考え方をまとめたものが、反復試行の公式になります。

まず、Cを使って何通りのパターンがあるかを求める。

それぞれが何回ずつ出るかを考え確率を求める。

その確率が何通りあるのかを掛け算すれば完成！

まぁ、そんなに難しいことじゃないよね！

公式にCを使う理由

公式の中にCが出てくる理由は分かりましたか？

ここで出てくるCというのは、反復試行で考えられるパターンが何通りかを計算している部分でしたね。

何回中、何回〇が出てくるのかを考えるのだから

7回中、3回〇が出るという場合には

$$\large{{}_7 \mathrm{ C }_3}$$

9回中、2回〇が出るという場合には

$$\large{{}_9 \mathrm{ C }_2}$$

というようにそれぞれのパターンを計算で求めることができます。

だから、公式の中にCが出てくるのですね！

練習問題に挑戦！

それでは、反復試行の公式を使って練習問題に挑戦してみましょう。

まとめ

お疲れ様でした！

反復試行の公式は、見た目が難しいんだけど

その理由について知れば、別に難しいものではありませんでしたね。

Cを使って何通りか求める。

それぞれが何回ずつ出るかから確率を出す。

それらを掛ける！

以上！！

しっかりとやり方を覚えておきましょう(/・ω・)/