【数学A】約数の個数と総和を求める公式は？問題を使って解説！

高校数学Aで学習する場合の数の単元から

「約数の個数と総和の求め方」

についてサクッと解説していきます。

取り上げる問題はこちら！

【問題】

5400の正の約数は全部で何個あるか。

また，その約数の和を求めよ。

Contents

約数の個数の求め方と公式
約数の総和の求め方と公式
練習問題に挑戦！
まとめ！
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約数の個数の求め方と公式

【問題】

5400の正の約数は全部で何個あるか。

約数の個数を求めるには、まず素因数分解をします。

素因数分解ができたら、各パーツ（$2^3, 3^3, 5^2$）の約数を考えます。

$2^3$ の約数　⇒　$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$　の4個

$3^3$ の約数　⇒　$3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$　の4個

$5^2$ の約数　⇒　$5^0=1$, $5^1=5$, $5^2=25$　の3個

よって、約数の個数は

$$4\times 4\times 3=\color{red}{48個\cdots(解)}$$

となります。

【約数の個数を求める公式】

$N=p^aq^br^c $ のとき

$N$ の正の約数の個数は, $(a+1)(b+1)(c+1)$ 個。

なぜ、このような計算方法で約数の個数が求めれるのでしょうか。

ここでポイントとなるのが、

正の約数は、素因数分解で出てきた数の組み合わせによって作れる。

という点です。

例えば、20の正の約数であれば素因数分解すると、$2^2\times 5$ となります。

よって、約数は $1,2^1,2^2$ と $1,5^1$ の組み合わせによって作ることができるので

このように表すことができます。

このことから、素因数分解ででてきたパーツの個数を調べ、それらを掛けあわせることで約数の個数を求めることができるってわけです。

約数の総和の求め方と公式

【問題】

5400の正の約数の約数の和を求めよ。

$5400=2^3\times 3^3\times 5^2$ となることから

$$\begin{eqnarray}&&(1+2^1+2^2+2^3)(1+3^1+3^2+3^3)(1+5^1+5^2)\\[5pt]&=&(1+2+4+8)(1+3+9+27)(1+5+25)\\[5pt]&=&15\times 40\times 31=\color{red}{18600\cdots(解)} \end{eqnarray}$$

約数の総和を求めるには、素因数分解したときにでてくる同じ素因数のパーツの総和を掛けたものになります。

【約数の総和を求める公式】

$N=p^aq^br^c $ のとき

$N$ の正の約数の総和は,

$(1+p+ \cdots +p^a)(1+q+ \cdots +p^b)(1+r+ \cdots +r^c)$

なぜこのようなやり方で約数の総和を求めることができるのでしょうか。

$20$の約数の総和を用いて考えてみましょう。

$20=2^2\times 5$ であることから、

20の約数は、$1\cdot1$, $1\cdot 5$, $2^1\cdot 1$, $2^1\cdot 5^1$, $2^2\cdot 1$, $2^2\cdot 5^1$ と表すことができます。

つまり、約数の総和を求めるには次のような式ができます。

$$\begin{eqnarray}&&1\cdot1+1\cdot 5^1+ 2^1\cdot 1+2^1\cdot 5^1+2^2\cdot 1+2^2\cdot 5^1\\[5pt]&=&1(1+5^1)+2^1(1+5^1)+2^2(1+5^1)\\[5pt]&=&(1+2^1+2^2)(1+5^1)\end{eqnarray}$$

このことから、上で紹介したやり方で総和を求めることができる理由がわかりますね！