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パスカルの三角形の作り方・覚え方!二項定理の係数をマスターせよ!

今回は高校数学Ⅱで学習する内容から

『パスカルの三角形を用いて二項定理を考える』

という話を取り上げていきます。

 

パスカルの三角形というのは

こんな風に数がピラミッドのように並んでいるものでしたね。

それでは、このパスカルの三角形とはどのように数を並べていけば良いのか?

また、どんな場面で役に立つのでしょうか?

パスカルの三角形の作り方、覚え方!

それでは、パスカルの三角形を5段目まで作ってみましょう。

両端に1を書く

まずは、5段目まで両端に1を書いていきます。

間に数を埋める。

上の段にある数の間に、それぞれの数を足した値を書いていく。

完成!

これでパスカルの三角形は完成となります。

 

すごく簡単でしたね。

パスカルの三角形 作り方手順

  1. 各段の両端に1を書く
  2. 上の段にある数の間に和の値を書く
  3. 完成!

 

パスカルの三角形の使い道

それでは、このパスカルの三角形というものが

どういった場面で役に立つのか、それは…

 

展開公式の係数を調べることができる!

 

という点です。

例えば、\((a+b)^4\)の展開を考える場合

パスカルの三角形の5段目を見ると

このように数が対応しているのです。

とっても便利ですね!!

 

パスカルの三角形を書くことで、複雑な展開公式であっても簡単に係数を調べてあげることができます。

それぞれこのように対応しています。

 

それでは、パスカルの三角形を使って展開の計算をやってみましょう!

練習問題に挑戦!

パスカルの三角形を用いて、次の展開式を求めよ。

$$(x+1)^5$$

解説&答えはこちら

5乗の展開を求めたいので、パスカルの三角形の6段目を見ます。

すると

$$\Large{1 5 10 10 5 1}$$

このような数字が並んでいるので

$$(x+1)^5=x^5+5x^4\cdot 1+10x^3\cdot 1^2+10x^2\cdot 1^3+5x\cdot 1^4+1^5$$

$$=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$

 

$$(2x-1)^4$$

解説&答えはこちら

4乗の展開を求めたいので、パスカルの三角形の5段目を見ます。

すると

$$\Large{1 4 6 4 1}$$

このような数字が並んでいるので

$$(2x-1)^4=(2x)^4+4(2x)^3\cdot (-1)+6(2x)^2\cdot (-1)^2+4(2x)^1\cdot (-1)^3+(-1)^4$$

$$=16x^4-32x^3+24x^2-8x+1$$

 

まとめ

パスカルの三角形が作れるようになると、展開公式を簡単に解けるようになりますね!

展開の計算で困ってしまったときには、ぜひとも利用してください(^^)

 

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