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【中2数学】平行四辺形の中から面積の等しい三角形を見つける問題を解説!

今回は中2で学習する

特別な平行四辺形の単元の中から

面積が等しくなる三角形を見つける問題を解説していきます。

 

問題

下の図で、四角形ABCDは平行四辺形であり、EF//BDである。このとき、△CDFと面積の等しい三角形をすべて答えなさい。

 

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面積の等しい三角形を見つけるポイント!

このように平行な線に挟まれている三角形は

底辺の長さが等しければ面積が等しくなります。

 

 

三角形の面積は

$$(底辺)\times(高さ)\times \frac{1}{2}$$

と求めることができますよね。

だから、底辺と高さが等しくなる三角形は

たとえ、形がこーんなに違っても

面積は等しくなります。

 

 

 

あ、平行線はどこをとっても距離が等しくなるっていう特徴も覚えておいてね!

だから、どの三角形も高さは等しくなります。

 

問題の解説&答え

それでは、上で説明した特徴を活かして

平行な線に注目しながら

面積の等しい三角形を見つけていきましょう!

 

まず、四角形ABCDは平行四辺形なので

それぞれの向かい合う辺が平行になるということがわかります。

 

 

そして、このAD//BCを利用して

FDを底辺とする三角形に注目すると

△CDF=△BDF

がわかります。

 

次は、先ほど見つけた△BDFと面積が等しくなる三角形を探します。

EF//BDを利用して、底辺をBDとする三角形に注目すると

△BDF=△BDE

がわかります。

 

次も同様に、△BDEと面積が等しくなる三角形を探します。

AB//DCを利用して、底辺をEBとする三角形に注目すると

△BDE=△BCE

とわかります。

 

 

 

あれあれ…

問題では、△CDFと面積の等しくなる三角形を求めろと言っているのに

後半は△CDFと関係なくなっっちゃってんじゃん!

 

と思わないでください。

一連の流れで分かった情報をまとめていきます。

△CDF=△BDF

△BDF△BDE

△BDE=△BCE

 

これらをまとめて表すと

△CDF=△BDF=△BDE=△BCE

となるわけですね。

よって、これらの三角形は全部面積が等しい!ということになります。

 

 

△CDF⇒△BDF⇒△BDE⇒△BCE

というようにリレー形式で

面積の等しくなる三角形を見つけていく感じですね!

 

答え

△BDF、△BDE、△BCE

 

だいたいのイメージが掴めた人は練習問題で理解を深めていきましょう。

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練習問題に挑戦!

問題

下の図で、四角形ABCDは平行四辺形である。点Mは辺BCの中点のとき、△ABMと面積の等しい三角形をすべて答えなさい。

 

解説&答えはこちら

答え

△DBM、△AMC、△DMC

 

平行四辺形なので

AB//DC、AD//BCとなります。

 

AD//BCを利用して、底辺をBMとする三角形に注目すると

△ABM=△DBMとなります。

△DBMと等しい三角形は見つからないので、このリレーは終了。

 

次は、点MがBCの中点ということを利用すると

△ABMと△AMCは底辺と高さが等しい三角形なので

△ABM=△AMCとなります。

 

このように、底辺を共有してなくても

長さが等しいことがわかれば面積も等しくなります。

 

次は△AMCと等しくなる三角形を見つけるリレーをしていきましょう。

AD//BCを利用して、底辺をMCとする三角形に注目すると

△AMC=△DMCとなります。

△DMCと等しくなる三角形は見つからないので

こちらのリレーも終了!

 

 

すべての情報をまとめると

△ABM=△DBM=△AMC=△DMC

となります。

 

まとめ

お疲れ様でした!

平行四辺形の中から面積の等しい三角形を見つけれるようになりましたか?

正直、慣れるまではなかなか難しい問題です。

平行四辺形に線がたくさんあって

どこを見ていけばいいのか分かりにくいもんね。

 

だけど、何度も練習していると

自然と面積の等しい三角形が浮き出て見えてくるようになります。

 

 

ポイントは

平行な線を見つけることですね。

そして、その平行な線に挟まれている三角形を探していくことです。

 

等しい三角形を見つけたら

そこからリレーをしていきながら、どんどんと三角形を見つけていってください。

ファイトだー(/・ω・)/

 

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