正多角形の1つの内角・外角を求める方法を問題解説!

今回は、正多角形の1つの内角・外角を求める方法について解説していくよ!

 

  • そもそも正多角形ってなに?
  • 1つの外角を求める方法は?
  • 1つの内角を求める方法は?
  • 問題に挑戦してみよう!

 

この4つのテーマでお話をしていきます(^^)

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正多角形ってなに?どんな特徴があるの?

正多角形というのは

すべての辺の長さが等しくて

すべての内角の大きさが等しい多角形のことを言います。

 

 

そして

内角・外角を考えていくときには

正多角形は角がすべて等しい

 

この性質を使って考えていくので、しっかりと頭に入れておきましょう!

 

1つの外角を求める方法

それでは、正多角形の1つの外角を求める方法についてですが

まず、外角の性質について知っておいて欲しいことがあります。

それは…

外角は何角形であろうと

全部合わせたら360°になる!

 

この性質は多角形、正多角形に関係なく

どんなやつでも全部合わせたら360°になります。

 

 

では、このことを使って考えると

正多角形の外角1つ分の大きさは

$$\LARGE{360 \div (角の数)}$$

をすることによって求めることができます。

 

正三角形の場合

外角は3つあるので

360°を3つに分ければ1つ分の外角を求めることができると考えて

$$\LARGE{360 \div 3 =120°}$$

 

 

よって、正三角形の外角1つは\(120°\)ということがわかります。

 

正方形の場合

外角は4つあるので

360°を4つに分ければ1つ分の外角を求めることができると考えて

$$\LARGE{360 \div 4 =90°}$$

 

 

よって、正方形の外角1つは\(90°\)ということがわかります。

 

正五角形の場合

外角は5つあるので

360°を5つに分ければ1つ分の外角を求めることができると考えて

$$\LARGE{360 \div 5 =72°}$$

 

 

よって、正五角形の外角1つは\(72°\)ということがわかります。

 

 

ここまでやれば

大体のやり方は分かってもらえたでしょうか??

とにかく、360°から角の数だけ割ってやれば1つ分を出すことができますね!

 

正六角形の外角は\(360 \div 6 =60°\)

正八角形の外角は\(360 \div 8=45°\)

正九角形の外角は\(360 \div 9=40°\)

正十角形の外角は\(360 \div 10=36°\)

正十二角形の外角は\(360 \div 12=30°\)

 

 

正七角形や正十一角形のように

$$360 \div 7=51.42…$$

$$360 \div 11=32.72…$$

割り切れないようなやつに関しては

おそらく問題として出てくることはないでしょうね。

 

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1つの内角を求める2つの方法

それでは、次に内角を求める方法について考えていきましょう。

 

正多角形の内角1つ分を求めるには2つの方法があります。

  • 外角を利用する方法
  • 内角の和を考える方法

 

それぞれの方法について解説していきます。

外角を利用する方法

内角と外角って

必ず隣り合ってるよね!!

 

隣り合っているのだから

内角と外角を合わせると何度になるかわかる?

 

 

というわけで

内角と外角を足すと180°になるという特徴があります。

 

 

これを使って考えると

正多角形の内角1つ分の大きさは

$$\LARGE{180-(外角)}$$

このように求めてやることができます。

 

正三角形の場合

まず、外角1つ分の大きさを求めて

180°から外角1つ分の大きさを引いてやります。

 

先ほど外角の求め方のところで

120°になるということがわかっているので

 

正三角形の内角1つ分の大きさは

$$\LARGE{180-120=60°}$$

となります。

 

正五角形の場合

正五角形の1つ分の外角は72°となるので

内角1つ分の大きさは

$$\LARGE{180-72=108°}$$

となります。

 

 

同様に

正六角形の1つ分の内角は\(180-60=120°\)

正八角形の1つ分の内角は\(180-45=135°\)

正九角形の1つ分の内角は\(180-40=140°\)

正十角形の1つ分の内角は\(180-36=144°\)

正十二角形の1つ分の内角は\(180-30=150°\)

 

と求めてやることができます。

 

内角の和を考える方法

次は内角の和から1つ分の大きさを求める方法です。

まず、多角形の内角の和は

$$\LARGE{180 \times (n-2)}$$

で求めることができましたね。

 

正三角形の内角の和であれば

$$\LARGE{180 \times (3-2)=180°}$$

 

正五角形の内角の和であれば

$$\LARGE{180 \times (5-2)=540°}$$

と求めてやることができます。

 

 

内角の和が求まれば

1つ分の大きさを求めることは簡単です。

外角のときと同じように割ってやればいいですね。

 

正三角形なら

$$\LARGE{180 \div 3 = 60°}$$

 

正五角形なら

$$\LARGE{540 \div 5 =108°}$$

となります。

 

 

 

外角を利用した考え方の方が

計算量が少ないのでおススメではありますが

両方のやり方をしっかりとマスターしておくと

応用力が高まってGOODですね。

 

 

それでは、内角・外角の求め方を

マスターしてもらったところで

問題演習に挑戦して理解を深めていきましょう!

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問題に挑戦してみよう!

正五角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

$$\LARGE{72°}$$

外角の和は360°でしたね!

正五角形は外角が5つあるので

$$360 \div 5=72°$$

となります。

 

正十角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

解説&答えはこちら

$$\LARGE{144°}$$

まずは正十角形の外角1つ分の大きさを求めます。

$$360 \div 10=36°$$

 

内角は\(180-(外角)\)より

$$180-36=144°$$

となります。

 

内角の和を考えて求める場合には

$$180 \times (10-2)=1440°$$

内角の和をこのように求めて

10で割ってやれば求めることができます。

$$1440 \div 10 =144°$$

 

1つの外角が40°の正多角形を答えなさい。

解説&答えはこちら

$$\LARGE{{正九角形}}$$

1つ分の外角が40°になるということから

いくつ外角があれば360°になるのかを考えます。

$$360 \div 40 =9$$

 

よって、外角は9個あることがわかるので

正九角形であることがわかります。

 

これも外角の和は360°になることを覚えておけば楽勝ですね!

 

 

1つの内角が108°である正多角形を答えなさい。

解説&答えはこちら

$$\LARGE{{正五角形}}$$

内角が与えられたときには

外角が何度になるのかを考えることで

さっきの問題と同様に求めてやることができます。

 

内角と外角の和は180°になることから

1つ分の外角の大きさは\(180-108=72°\)となります。

 

72°の外角がいくつ集まれば360°になるのかを考えて

 

$$360 \div 72 =5$$

 

よって、外角は5個あることがわかるので

正五角形であることがわかります。

 

 

内角の和は多角形によって異なるので

内角を利用して考えるのは難しいです。

この場合には常に和が360°で一定になる外角の性質を利用すると簡単に計算できるようになります。

 

正多角形の内角・外角 まとめ

お疲れ様でした!

 

外角の和は常に360°になる

という性質は非常に便利でしたね。

 

問題でも大活躍する性質なので

絶対に覚えておきましょう。

 

内角が問題に出てきた場合でも

$$\LARGE{(内角)+(外角)=180°}$$

の性質を使っていけば、外角を利用しながら解くことができます。

 

 

さぁ

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