円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する?入試問題を解説!

今回は、過去に入試に出題された問題である

円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する?

といった問題を解説していきます。

 

問題

下の図のように、底面の半径が3㎝で、母線の長さが9㎝の円錐を平面上におき、頂点Oを中心としてすべらないように転がす。このとき、点線で示した円の上を1周してもとの場所にかえるまでに何回転するか求めなさい。

 

 

問題の答え&解説

円錐を転がす問題のポイントは

転がすコースである点線部分の長さと

円錐の底面の周の長さを比べることです。

 

点線部分の円は、円錐の母線が半径になっているよね。

だから、半径は9㎝となり

円周の長さは\(2\pi\times 9=18\pi\)(cm)となります。

 

円錐の底面は、半径が3㎝なので

円周の長さは\(2\pi\times 3=6\pi\)(cm)となります。

 

円の公式が必要だからちゃんと思い出しておいてね!

円周の長さの求め方

$$2\pi\times (半径)$$

 

それぞれの値が求まったら

回転させたときの状況を考えてみましょう。

 

円錐を1回転させると、底面部分の\(6\pi\)(cm)だけ

点線部分のコースを進むことになります。

 

点線部分のコースは\(18\pi\)(cm)、1回転で\(6\pi\)(cm)進む。

ということは、1周するのにどれくらい回転するかは割り算をすればよいですね。

$$18\pi \div 6\pi=3$$

よって、1周するのに3回転するということがわかります。

 

答え

3回転

 

以上!

見るべきポイントが分かっていれば簡単な問題でしたね(^^)

 

回転数を求める手順

  1. 母線を半径とするコース部分の円周の長さを求める
  2. 回転させる円周の底面である円の円周の長さを求める
  3. (1で求めた値) ÷ (2で求めた値)を計算する

 

 

それでは、同様の問題で

発展問題にも挑戦してみましょう。

円錐を回転させる問題から表面積へ!

問題

下の図のように、底面の半径が4㎝の円錐を平面上におき、頂点Oを中心としてすべらないように転がす。このとき、円錐は4回転したところでもとの位置に戻ってきた。このとき、転がした円錐の表面積を求めなさい。

 

この問題では、母線の長さが与えられていない代わりに

4回転でちょうど1周するということがわかっています。

 

この情報から、円錐の母線を求めて

表面積を考えていきましょう。

 

 

円錐の底面の円周の長さが\(2\pi\times 4=8\pi(cm)\)であることから

この円錐は1回転するごとに\(8\pi(cm)\)進むことがわかります。

これが4回転すると、ちょうど1周するので

コースの全長は

$$8\pi \times 4=32\pi(cm)$$

ということがわかります。

 

 

すると

点線部分の円の半径を\(x\)とすると

$$2\pi x=32\pi$$

$$x=16$$

となるので、半径は16㎝ということがわかります。

 

この円の半径と、円錐の母線の長さは同じになるので

求めたい円錐の情報をまとめるとこんな感じになります。

 

母線がわかれば、円錐の表面積を求めることができるようになりますね!

円錐の表面積は裏ワザ公式を使えば一発です!

 

今回は、中心角は必要ないので

側面積だけ、裏ワザ公式を使って求めます。

 

 

側面積は、母線と半径と\(\pi\)を掛けて\(64\pi\)

底面積は、半径×半径×\(\pi\)で\(16\pi\)

 

表面積はそれぞれの値を合わせて

$$64\pi + 16\pi=80\pi (cm^2)$$

となります。

 

答え

$$80\pi (cm^2)$$

 

まとめ

お疲れ様でした!

 

円錐を転がす問題では

転がすコースの全長と円錐の底面の長さを比べることがポイントです。

それぞれの値が分かれば、どれだけ回転させればよいかがわかります。

 

また、底面の円周の長さと回転数がわかれば

そこからコースの全長を求めることもできますね。

 

というわけで

 

ポイント!
(コースの全長)÷(底面の円周の長さ)=(回転数)
(底面の円周の長さ)×(回転数)=(コースの全長)

 

この2つの関係をおさえておければバッチリでしょう!

ファイトだー(/・ω・)/

 

 

高校入試で使える公式集をプレゼント!


 
高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました!
 
定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。
学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/

これは知らないと損をするかも…!?
 
無料の中学生メルマガ講座にご登録いただいた方に、
高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。
 
こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください!

ご登録いただいたメールアドレスに教材を送らせていただきます。
 
 
中学生メルマガ講座では、今回のプレゼントのほか
  • オリジナルの入試教材
  • 入試問題の詳しい解説データ
  • ZOOMを使った個別指導


などのプレゼント企画をやっております。
 
登録は1分もあれば完了します。
ぜひ、こちらから中学生メルマガ講座に登録してみてくださいね(^^)




数スタの運営をしている小田です。
数学の指導歴11年。最近ではオンラインで個別指導をさせてもらっています。  >> 詳しいプロフォールはこちら
数学のニガテを一緒に解決しよう!イチから丁寧に解説するぞ!をモットーに数スタのサイトを作成しました。おかげさまで月30万人の方にご利用いただいております(^^)

【無料のメルマガ講座】
より詳しい学習解説、限定コンテンツの配信、個別指導のプレゼントなどを行っています。
メルマガ講座

【YouTubeチャンネル】
数学の基礎を丁寧に解説しています! ⇒ 数スタチャンネル

【LINE登録】
メッセージはLINEで受け付けてます(/・ω・)/ ⇒LINE登録





コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。