円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する？入試問題を解説！

今回は、過去に入試に出題された問題である

円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する？

といった問題を解説していきます。

 

 

こちらの動画も合わせてご活用ください＾＾

問題の答え＆解説

円錐を転がす問題のポイントは

転がすコースである点線部分の長さと

円錐の底面の周の長さを比べることです。

 

点線部分の円は、円錐の母線が半径になっているよね。

だから、半径は9㎝となり

円周の長さは\(2\pi\times 9=18\pi\)(cm)となります。

 

円錐の底面は、半径が3㎝なので

円周の長さは\(2\pi\times 3=6\pi\)(cm)となります。

 

円の公式が必要だからちゃんと思い出しておいてね！

 

それぞれの値が求まったら

回転させたときの状況を考えてみましょう。

 

円錐を1回転させると、底面部分の\(6\pi\)(cm)だけ

点線部分のコースを進むことになります。

 

点線部分のコースは\(18\pi\)(cm)、1回転で\(6\pi\)(cm)進む。

ということは、1周するのにどれくらい回転するかは割り算をすればよいですね。

$$18\pi \div 6\pi=3$$

よって、1周するのに3回転するということがわかります。

 

 

以上！

見るべきポイントが分かっていれば簡単な問題でしたね(^^)

 

 

 

それでは、同様の問題で

発展問題にも挑戦してみましょう。

円錐を回転させる問題から表面積へ！

 

この問題では、母線の長さが与えられていない代わりに

4回転でちょうど1周するということがわかっています。

 

この情報から、円錐の母線を求めて

表面積を考えていきましょう。

 

 

円錐の底面の円周の長さが\(2\pi\times 4=8\pi(cm)\)であることから

この円錐は1回転するごとに\(8\pi(cm)\)進むことがわかります。

これが4回転すると、ちょうど1周するので

コースの全長は

$$8\pi \times 4=32\pi(cm)$$

ということがわかります。

 

 

すると

点線部分の円の半径を\(x\)とすると

$$2\pi x=32\pi$$

$$x=16$$

となるので、半径は16㎝ということがわかります。

 

この円の半径と、円錐の母線の長さは同じになるので

求めたい円錐の情報をまとめるとこんな感じになります。

 

母線がわかれば、円錐の表面積を求めることができるようになりますね！

円錐の表面積は裏ワザ公式を使えば一発です！

 

今回は、中心角は必要ないので

側面積だけ、裏ワザ公式を使って求めます。

 

 

側面積は、母線と半径と\(\pi\)を掛けて\(64\pi\)

底面積は、半径×半径×\(\pi\)で\(16\pi\)

 

表面積はそれぞれの値を合わせて

$$64\pi + 16\pi=80\pi (cm^2)$$

となります。

 

 

まとめ

お疲れ様でした！

 

円錐を転がす問題では

転がすコースの全長と円錐の底面の長さを比べることがポイントです。

それぞれの値が分かれば、どれだけ回転させればよいかがわかります。

 

また、底面の円周の長さと回転数がわかれば

そこからコースの全長を求めることもできますね。

 

というわけで

 

 

この2つの関係をおさえておければバッチリでしょう！

ファイトだー(/・ω・)/