円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する?入試問題を解説!

今回は、過去に入試に出題された問題である

円錐を転がすと1周するのにどれくらい回転する?

といった問題を解説していきます。

 

問題

下の図のように、底面の半径が3㎝で、母線の長さが9㎝の円錐を平面上におき、頂点Oを中心としてすべらないように転がす。このとき、点線で示した円の上を1周してもとの場所にかえるまでに何回転するか求めなさい。

 

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問題の答え&解説

円錐を転がす問題のポイントは

転がすコースである点線部分の長さと

円錐の底面の周の長さを比べることです。

 

点線部分の円は、円錐の母線が半径になっているよね。

だから、半径は9㎝となり

円周の長さは\(2\pi\times 9=18\pi\)(cm)となります。

 

円錐の底面は、半径が3㎝なので

円周の長さは\(2\pi\times 3=6\pi\)(cm)となります。

 

円の公式が必要だからちゃんと思い出しておいてね!

円周の長さの求め方

$$2\pi\times (半径)$$

 

それぞれの値が求まったら

回転させたときの状況を考えてみましょう。

 

円錐を1回転させると、底面部分の\(6\pi\)(cm)だけ

点線部分のコースを進むことになります。

 

点線部分のコースは\(18\pi\)(cm)、1回転で\(6\pi\)(cm)進む。

ということは、1周するのにどれくらい回転するかは割り算をすればよいですね。

$$18\pi \div 6\pi=3$$

よって、1周するのに3回転するということがわかります。

 

答え

3回転

 

以上!

見るべきポイントが分かっていれば簡単な問題でしたね(^^)

 

回転数を求める手順

  1. 母線を半径とするコース部分の円周の長さを求める
  2. 回転させる円周の底面である円の円周の長さを求める
  3. (1で求めた値) ÷ (2で求めた値)を計算する

 

 

それでは、同様の問題で

発展問題にも挑戦してみましょう。

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円錐を回転させる問題から表面積へ!

問題

下の図のように、底面の半径が4㎝の円錐を平面上におき、頂点Oを中心としてすべらないように転がす。このとき、円錐は4回転したところでもとの位置に戻ってきた。このとき、転がした円錐の表面積を求めなさい。

 

この問題では、母線の長さが与えられていない代わりに

4回転でちょうど1周するということがわかっています。

 

この情報から、円錐の母線を求めて

表面積を考えていきましょう。

 

 

円錐の底面の円周の長さが\(2\pi\times 4=8\pi(cm)\)であることから

この円錐は1回転するごとに\(8\pi(cm)\)進むことがわかります。

これが4回転すると、ちょうど1周するので

コースの全長は

$$8\pi \times 4=32\pi(cm)$$

ということがわかります。

 

 

すると

点線部分の円の半径を\(x\)とすると

$$2\pi x=32\pi$$

$$x=16$$

となるので、半径は16㎝ということがわかります。

 

この円の半径と、円錐の母線の長さは同じになるので

求めたい円錐の情報をまとめるとこんな感じになります。

 

母線がわかれば、円錐の表面積を求めることができるようになりますね!

円錐の表面積は裏ワザ公式を使えば一発です!

 

今回は、中心角は必要ないので

側面積だけ、裏ワザ公式を使って求めます。

 

 

側面積は、母線と半径と\(\pi\)を掛けて\(64\pi\)

底面積は、半径×半径×\(\pi\)で\(16\pi\)

 

表面積はそれぞれの値を合わせて

$$64\pi + 16\pi=80\pi (cm^2)$$

となります。

 

答え

$$80\pi (cm^2)$$

 

 

まとめ

お疲れ様でした!

 

円錐を転がす問題では

転がすコースの全長と円錐の底面の長さを比べることがポイントです。

それぞれの値が分かれば、どれだけ回転させればよいかがわかります。

 

また、底面の円周の長さと回転数がわかれば

そこからコースの全長を求めることもできますね。

 

というわけで

 

ポイント!
(コースの全長)÷(底面の円周の長さ)=(回転数)
(底面の円周の長さ)×(回転数)=(コースの全長)

 

この2つの関係をおさえておければバッチリでしょう!

ファイトだー(/・ω・)/

 

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