【球の体積・表面積】公式の覚え方は語呂合わせで!問題を使って解説!

今回は中1で学習する「空間図形」の単元から

球の体積・表面積の求め方について解説していくよ!

 

 

球というのは

こういったボール状の形をしているものだよね!

 

実は、ちょっとだけ公式が複雑だったりします(^^;

だけど、公式を覚えることができれば楽勝の問題になっちゃいます。

 

今回は、複雑な公式の覚え方についても紹介していくので

この記事を通して、球をマスターしていこう!

球の体積・表面積の公式

球の体積

$$\LARGE{\frac{4}{3}\pi r^3}$$

 

半径3㎝の球の体積

$$\large{\frac{4}{3}\pi \times 3^3}$$

$$\large{=\frac{4}{3}\pi \times 27}$$

$$\large{=36\pi (cm^3)}$$

 

球の表面積

$$\LARGE{4\pi r^2}$$

 

半径4㎝の球の表面積

$$\large{4\pi \times 4^2}$$

$$\large{=4\pi \times 16}$$

$$\large{=64\pi (cm^2)}$$

 

 

公式を覚えることができたら

\(r\)の部分に半径の値を当てはめてやるだけでOKです!

計算自体は簡単^^

 

あとは、この複雑な公式を正確に覚えれるかどうかだけですね。

 

ということで

私が学生の頃から使われている

球の公式を覚えるための語呂合わせを紹介していきます!

 

覚えにくいから語呂合わせで覚えよう!

球の体積公式を語呂合わせ

 

身の上に心配ある人が参上!

どんな状況やねん!とツッコミを入れたくなるのですが

公式を覚えるための語呂合わせです。

我慢してください。

 

 

球の表面積公式を語呂合わせ

 

 

心配あるある~ 言いたい~♪

 

 

お笑い芸人さんのネタを思い浮かべながら覚えましょう。

あるある言いたい~♪

 

 

 

このように語呂合わせで覚えてしまえば

複雑な公式であっても、その場で思い出すことができますね!

私は今でも語呂合わせで思い出すことがありますw

 

 

あ!

語呂合わせで公式は覚えたけど

どっちが体積で、どっちが表面積だっけ?

というようにごちゃごちゃになっちゃう人も多いです。

 

 

そういう人は、体積と表面積の単位に注目しましょう。

体積の単位には\(cm^3\)、\(m^3\)というように3乗がついているよね。

だから、公式にも\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3\)というように3乗がある。

 

面積の単位には\(cm^2\)、\(m^2\)というように2乗がついているよね。

だから、公式にも\(4\pi r^2\)というように2乗がある。

 

 

このように3乗、2乗を単位と関連付けておくことで

どっちがどっちだっけ?

というような悩みは解消されるはずです。

演習問題で理解を深めよう!

それでは、問題を通して球の公式をしっかりと身につけていきましょう!

 

半径6㎝の球の体積、表面積をそれぞれ求めなさい。
解説&答えはこちら

答え

体積:\(288\pi (cm^3)\)   表面積:\(144\pi (cm^2)\)

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 6^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 216$$

$$=288\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 6^2$$

$$=4\pi \times 36$$

$$=144\pi (cm^2)$$

 

次の図形の体積、表面積をそれぞれ求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

体積:\(\displaystyle \frac{256}{3}\pi (cm^3)\)   表面積:\(64\pi (cm^2)\)

 

直径が8㎝だから、半径は4㎝だね!

公式を用いるには、半径の値が必要なのでしっかりと読み取ろう。

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 4^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 64$$

$$=\frac{256}{3}\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 4^2$$

$$=4\pi \times 64$$

$$=256\pi (cm^2)$$

 

下の図のようなおうぎ形を、直線\(l\)を軸として1回転させてできる立体の体積、表面積を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

体積:\(\displaystyle \frac{500}{3}\pi (cm^3)\)   表面積:\(100\pi (cm^2)\)

 

 

おうぎ形を1回転させると、半径5㎝の球ができあがります。

 

体積

$$\frac{4}{3}\pi \times 5^3$$

$$=\frac{4}{3}\pi \times 125$$

$$=\frac{500}{3}\pi (cm^3)$$

 

表面積

$$4\pi \times 5^2$$

$$=4\pi \times 25$$

$$=100\pi (cm^2)$$

 

 

半球の体積・表面積は?

それでは、ちょっとした応用問題について考えてみましょう。

 

球を半分に切った半球

この半球の体積と表面積は、どのように求めれば良いのでしょうか。

半球の体積を求める方法

元の球の状態の体積を求めて半分にしてやります。

$$\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi$$

$$36\pi \times \frac{1}{2}=18\pi (cm^3)$$

 

まぁ、半球だからといって特別な公式があるわけではありませんね!

 

だけど、表面積はちょっと注意が必要です。

半球の表面積を求める方法

半球の表面積を求める場合には

半球の局面部分

$$4\pi \times 3^2 \times \frac{1}{2}=18\pi$$

 

半球の底部分

$$\pi \times 3^2=9\pi$$

それぞれを求めて足してやる必要があります。

$$\large{18\pi +9\pi=27\pi(cm^2)}$$

 

底部分を求め忘れるケースが多いので注意が必要です。

 

まとめ

お疲れ様でした!

球の公式は覚えれましたか?

 

なかなか覚えれないよーという方は

ぜひ語呂合わせも利用してみてくださいね!

 

球の体積・表面積の公式

体積

$$\large{\frac{4}{3}\pi r^3}$$

(身の上に心配ある参上!)

 

表面積

$$\large{4\pi r^2}$$

(心配あるある)

 

 

24 件のコメント

    • 数スタ運営者 より:

      ありがととととと!

  • 抹茶 より:

    わかりやすくてすごくいいです!

    • 数スタ運営者 より:

      嬉しいコメントありがとうございます!

  • 匿名 より:

    すっごいわっかりやすうううううう!!!!たすっかっすうううう!!

    • ゴリラベリンゲイベリンゲイ より:

      ないすぅーーーー

    • 数スタ運営者 より:

      すっごいありがとうございますううう!!

  • 匿名 より:

    語呂合わせすごくわかりやすいです!

    • 数スタ運営者 より:

      僕も学生時代は、
      この語呂合わせに助けられましたw

    • 数スタ運営者 より:

      ありがとうございます!!

  • 名無しさん より:

    すごく分かりやすくて助かりましたm(_ _)m(๑•̀⌄ー́๑)b

    • 数スタ運営者 より:

      いえいえ!
      お役に立てて嬉しいです(^^)v

  • さくら より:

    しけんとうじつです。がんばります!!!!!!

  • 匿名 より:

    これからこれがバイフルですわ

    • 数スタ運営者 より:

      ぜひこれらかもよろしくお願いします!!

  • 匿名 より:

    ものすごくわかりやすかったです。
    来週ぐらいに単元テストがあるのでこの覚え方でしっかり覚えてテストに望みたいです。
    そして中1の今がこれから先の土台・基礎となると思うので今のうちに復習していきたいです。

    • 数スタ小田 より:

      良い心掛けです!
      中1の土台ができたら
      中2、3もラクになるからね^^
      がんばっていきましょう(‘ω’)ノ

    • 数スタ小田 より:

      ありがとうございます^^

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