【中学数学】指数法則を使って計算問題を解く方法を徹底解説!

今回は、指数法則というものを取り上げて解説していくよ!

 

指数というのは

このように、数の右上についている小さい数のことでしたね。

 

$$2^3\times 2^2$$

$$2^5\div 2^3$$

$$(2^3)^2$$

このように、指数を含む数同士を計算するときに

覚えておきたい特徴があります。

それをまとめて指数法則といいます。

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指数法則とは

それでは、指数法則とはどういうものか見ていきましょう。

乗法

乗法

$$\large{a^2 \times a^3=a^{2+3}=a^5}$$

掛け算のときには、指数の数を足した値になります。

 

なぜ、掛け算なのに足し算?って思っちゃいますが

$$a^2\times a^3=(a\times a)\times (a\times a\times a)=a^5$$

2乗と3乗の掛け算では、このように合計で5回掛け算をしているってことになるよね!

 

だから、乗法では指数の数を足せばOKということになります。

例題

$$3^2\times 3^3=3^{2+3}$$

$$=3^5$$

$$=243$$

 

$$2x^2y\times 3xy^4=6x^{2+1}y^{1+4}$$

$$=6x^3y^5$$

 

累乗

累乗

$$\large{(a^2)^3=a^{2\times 3}=a^6}$$

$$\large{(ab)^2=a^2b^2}$$

累乗のときは、指数同士を掛けた値になります。

 

なんで掛け算!?

$$(a^2)^3=a^2\times a^2\times a^2$$

$$=a^{2\times 3}$$

$$=a^6$$

 

このように\(a^2\)を3乗すると

\(a^2\)を3回掛けるということですよね。

 

つまり、全部で\(a\)は2×3個ということになります。

 

 

$$(ab)^2=(ab)\times (ab)=a^2b^2$$

これも同様に考えればOKですね!

 

累乗のときには、指数は掛ける!ですね。

 

例題

$$(-2x^2y^3)^2=4x^{2\times 2}y^{3\times 2}$$

$$=4x^4y^6$$

 

$$2ab\times (-3a^3b)^3=2ab\times (-27a^9b^3)$$

$$=-54a^{10}b^4$$

 

除法

除法

$$\large{a^5\div a^2=a^{5-2}=a^3}$$

割り算のときには、指数同士を引いた値となります。

 

なぜ引き算?

$$a^5\div a^2=\frac{a^5}{a^2}$$

$$=\frac{aaaaa}{aa}$$

ここで分母と分子の\(a\)を2個ずつ約分すると

$$=a^3$$

 

このように、割り算のときには約分ができちゃうんですね!

だから、それぞれの指数を引いた値となるわけです。

 

 

例題

$$3^5\div 3^2=3^{5-2}$$

$$=3^3$$

$$=27$$

 

$$a^5b^3\div ab^2=a^{5-1}b^{3-2}$$

$$=a^4b$$

 

以上のように、指数がついた計算をするときには

乗法なら足し算

累乗なら掛け算

除法なら引き算

というように計算を使い分けていってください。

 

それでは、指数法則の理解を深めるために計算問題に挑戦してみましょう!

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指数法則の計算問題

次の計算をしなさい。

$$2^4\times 2^3$$

解説&答えはこちら

答え

$$128$$

$$2^4\times 2^3=2^7$$

$$=128$$

 

次の計算をしなさい。

$$(abc^2)^2\times 2a^2b^3c$$

解説&答えはこちら

答え

$$2a^4b^5c^5$$

$$(abc^2)^2\times 2a^2b^3c=a^2b^2c^4\times 2a^2b^3c$$

$$=2a^4b^5c^5$$

 

次の計算をしなさい。

$$(2a^2b)^3\div 2ab^2$$

解説&答えはこちら

答え

$$4a^5b$$

$$(2a^2b)^3\div 2ab^2=8a^6b^3\div 2ab^2$$

$$=4a^5b$$

 

 

まとめ

お疲れ様でした!

指数法則について理解は深まりましたでしょうか?

 

指数法則による計算は

どの単元においても必須となるスキルです。

 

たくさん演習問題を繰り返して

しっかりと身につけておきましょう!

 

では、最後に指数法則をまとめて終わりとしましょう。

指数法則

$$\large{a^m\times a^n=a^{m+n}}$$

$$\large{(a^m)^n=a^{m\times n}}$$

$$\large{(ab)^m=a^mb^m}$$

$$\large{a^m \div a^n=a^{m-n}}$$

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