【正三角形の角度】正方形、ひし形との融合問題を解説！

正三角形の角は60°という性質を利用すれば

\(x\)の角は

$$x=60-35=25°$$

と求めることができます。

そして、外角の性質を利用すれば

\(y\)の大きさは

$$∠y=35+60=95°$$

と求めることができます。

正三角形の角が60°になるということを覚えておけば大丈夫な問題でしたね！

まず、△ABCの正三角形に注目すると

1つの角は60°になることから

赤い部分が35°になることがわかります。

次は△ADEの正三角形に注目すると

赤い部分が25°になることがわかります。

そして、△ACEに注目して

三角形の内角の和が180°になるということから

$$x=180-(120+25)=35°$$

と求めることができます。

正三角形が重なっている場合には

それぞれの角が60°になっていることを意識して

少しずつ\(x\)の角に近づくように

いろんな角を求めていきましょう。

正三角形と正方形の融合問題を考えるときには

辺の関係性がとても重要です。

では、この図形において

どの部分が同じ長さになっているか考えてみましょう。

△EBCは正三角形なので、赤い部分はすべて同じ長さになります。

$$EB=BC=CE$$

四角形ABCDは正方形なので、青い部分はすべて同じ長さになります。

$$AB=BC=CD=DA$$

そして、この2つの特徴を組み合わせると

$$AB=BC=CD=DA=EB=CE$$

同じ長さになるとことがたくさんある！ということがわかります。

すると

△ABEと△ECDは二等辺三角形になっているということに気づきますね。

このことを利用して、角の大きさを考えていきます。

正方形の角は90°になるので

△ABEの頂角は30°になることがわかります。

そして、\(∠x\)は△ABEの底角なので

$$180-30=150$$

$$x=150\div 2 =75°$$

\(x\)の大きさがわかったら

次は△AEDに注目します。

すると、\(∠DAE,∠ADE\)はそれぞれ\(15°\)とわかるので

$$y=180-(15+15)=150°$$

とわかりました。

正三角形と正方形の融合問題では

辺の大きさが等しいところを見つけていくと

二等辺三角形が見つかるので

そこをヒントに角度を求めていくと良いです(^^)

まずはこの問題を解くために

ひし形の性質を復習しておきましょう。

今回問題の中で利用していく性質は

『辺の大きさがすべて等しい』

『対角の大きさが等しい』

『対辺がそれぞれ平行』

それでは以上3点を頭に入れておいて

問題を見ていきましょう。

まず、AB//DCより錯角は等しくなるので

\(∠BAE＝83°\)となります。

次にひし形、正三角形の性質から

辺の長さが等しいところが、このように見つかります。

すると△ABEは二等辺三角形になることがわかります。

よって、△ABEに注目すると

それぞれの角はこのようになります。

∠Bの大きさが74°とわかりました。

ひし形の対角は同じ大きさになることから

$$∠x=74°$$

となります。

ひし形と正三角形の融合問題は少し難しめですが

ひし形の3つの性質を覚えておけば大丈夫！

しっかりと覚えておきましょう。