【連立方程式】代入法の解き方をわかりやすく問題を使って徹底解説!

今回は中2で学習する

『連立方程式』の単元から

連立方程式を代入法で解く方法について解説していくよ!

 

 

連立方程式を解くためには

『加減法』と『代入法』という2つの解き方があったよね。

 

でも…

加減法は分かるけど、代入法は苦手…

 

っていう人が多いんだよね。

 

代入法ってすっごく簡単なのに…

というわけで

今回は、この代入法について学習していきましょう!

 

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

 

代入法とは??

加減法は式を足したり、引いたりしながら解いていく方法でした。

一方、代入法はというと

 

代入しながら解く!

 

そのまんま…笑

 

 

連立方程式が次のように

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y =3x +1 \\ 5x – y = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=y +5 \\x =4y+11 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

連立されている式が

\(x=…\)や\(y=…\)のようになっていて

いつものように\(x\)と\(y\)が

左辺に揃っていないようなときには

代入法を使うと楽に計算できるサインです。

 

 

それでは、代入法を使って解く問題を

パターン別になるべくわかりやすく解説していから

がんばって勉強していこー!

 

代入法で解く問題をパターン別に解説!

それでは、代入法の問題を3つのパターンに分けて解説していきます。

  • 基本パターン
  • \(y=… , y=…\)パターン
  • 係数ごと代入しちゃうパターン

代入法の基本パターン

次の方程式を解きなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y =x -9 \\ 2x -5 y = 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

この連立方程式のように

となっていれば、代入法のサインです!

 

\(y=…\)となっている式にかっこをつけて

もう一方の式の\(y\)の部分に代入してやります。

 

すると、次のような式にまとめてやることができます。

$$\LARGE{2x-5(x-9)=3}$$

 

そうすれば、あとは計算していくだけです。

$$\LARGE{2x-5(x-9)=3}$$

$$\LARGE{2x-5x+45=3}$$

$$\LARGE{2x-5x=3-45}$$

$$\LARGE{-3x=-42}$$

$$\LARGE{x=14}$$

 

\(x\)の値が求まれば

\(y =x -9\)か\(2x -5 y = 3\)のどちらかの式に代入してやります。

ほとんどの場合が\(x=…, y=…\)となっている式に代入する方が楽なので

今回も\(y =x -9\)に代入していきます。

 

すると

$$\LARGE{y=14-9=5}$$

となり

 

この連立方程式の答えは

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=14  \\ y = 5 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

 

代入法の手順としては

  1. \(x=…, y=…\)となっている式にかっこをつける
  2. かっこをつけた式をもう一方の式に代入する
  3. あとは方程式を計算

 

至ってシンプル!

かっこをつけずに代入しちゃうと

符号ミスやかけ算忘れにつながるから

そこは気を付けておこうね!

 

\(y=… , y=…\)パターン

次の方程式を解きなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y =3x -1 \\  y =x+ 5 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

式が両方とも\(y=…, y=…\)となっているパターンの問題を考えてみましょう。

このパターンの連立方程式は

一次関数の単元で多く利用することになります。

 

 

ただ、見た目はちょっと違いますが

解き方は基本パターンと同じです。

 

式にかっこをつけて

もう一方の式に代入します。

すると

$$\LARGE{3x-1=x+5}$$

$$\LARGE{3x-x=5+1}$$

$$\LARGE{2x=6}$$

$$\LARGE{x=3}$$

 

\(x\)の値が求まれば

\(y=3x-1\)、\(y=x+5\)のどちらかの式に代入します。

今回は\(y=3x-1\)に代入して計算していくと

$$\LARGE{y=3\times 3 -1}$$

$$\LARGE{y=8}$$

 

よって、答えは

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=3  \\ y = 8 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

\(y=…, y=…\)となっているパターンでも

解き方は一緒でしたね!

見た目に騙されないでください。

 

係数ごと代入しちゃうパターン

次の方程式を求めなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 4x +3y=7  \\  3y =-7x+ 10 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

あれ!?

\(3y=…\)ってどうすんの!?

\(y=…\)の式に3がくっついているので

いつもと違って困っちゃいますね…

 

そういうときは

慌てず、もう一方の式を見てみましょう。

 

そうすると、邪魔だと思っていた\(3y\)が

もう一方の式にもあるのがわかりますね。

 

こういうときには

\(3y\)に式をまるごと代入してやります。

 

すると、式は

$$\LARGE{4x+(-7x+10)=7}$$

となります。

 

あとは計算していきます。

$$\LARGE{4x-7x+10=7}$$

$$\LARGE{-3x=7-10}$$

$$\LARGE{-3x=-3}$$

$$\LARGE{x=1}$$

 

\(x\)の値が求まれば

\(3y=-7x+10\)に代入します。

$$\LARGE{3y=-7\times 1 +10}$$

$$\LARGE{3y=-7 +10}$$

$$\LARGE{3y=3}$$

$$\LARGE{y=1}$$

 

答えは

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=1  \\ y = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

となりました。

 

 

 

\(x=…, y=…\)の式に何か数がくっついている場合は

もう一方の式にも同じものがないか探してみましょう。

同じものがあれば

その部分にまるごと式を代入してやればOKです。

 

 

それでは、いくつか練習問題に挑戦して

理解を深めていきましょう!

演習問題で理解を深める!

次の方程式を求めなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=x+1  \\  2x-3y =-5\end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

解説&答えはこちら

答え

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=2  \\ y = 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

\(y=(x+1)\)の式を、もう一方に代入します。

$$\LARGE{2x-3(x+1)=-5}$$

$$\LARGE{2x-3x-3=-5}$$

$$\LARGE{-x=-5+3}$$

$$\LARGE{-x=-2}$$

$$\LARGE{x=2}$$

 

\(y=x+1\)に代入してやると

$$\LARGE{y=2+1=3}$$

となります。

 

 

次の方程式を求めなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=3x+2  \\  y =4x+5\end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

解説&答えはこちら

答え

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=-3  \\ y = -7 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

\(y=(3x+2)\)の式を、もう一方に代入します。

$$\LARGE{3x+2=4x+5}$$

$$\LARGE{3x-4x=5-2}$$

$$\LARGE{-x=3}$$

$$\LARGE{x=-3}$$

 

\(y=3x+2\)に代入してやると

$$\LARGE{y=3\times (-3)+2}$$

$$\LARGE{y=-9+2}$$

$$\LARGE{y=-7}$$

となります。

 

 

次の方程式を求めなさい。

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=-9  \\  2x =9-y\end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

解説&答えはこちら

答え

$$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=3  \\ y = 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}}$$

 

\(2x=(9-y)\)の式を、もう一方に代入します。

$$\LARGE{(9-y)-5y=-9}$$

$$\LARGE{9-y-5y=-9}$$

$$\LARGE{-6y=-9-9}$$

$$\LARGE{-6y=-18}$$

$$\LARGE{y=3}$$

 

\(2x=9-y\)に代入してやると

$$\LARGE{2x=9-3}$$

$$\LARGE{2x=6}$$

$$\LARGE{x=3}$$

となります。

 

代入法の解き方 まとめ

お疲れ様でした!

代入法の解き方は簡単だったね(^^)

慣れてくれば

加減法よりも式が少ないし

楽に感じるのではないかと思います。

 

関数の単元で、連立方程式が必要になる場合には

ほとんどが代入法で解いていくようになるから

しっかりと理解しておく必要があるね!

ファイトだー(/・ω・)/

 

 

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4 件のコメント

  • 匿名 より:

    基本パターンの答えはx=14でy=5ではないのですか?
    最初に出したx=14が代入するときに12に変わるのはなぜですか?
    14を12にするやり方が知りたいです

    • 数スタ運営者 より:

      こちらのミスでした!
      大変失礼いたしました。
      すぐに訂正させていただきました。
      この度は、ご指摘ありがとうございました(^^)

  • 匿名 より:

    すみません、あの、
    2x+5y=−1
    X=2y−5
    って、どのように解くんですか?

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