【連立方程式】池の周りを追いつく速さの文章問題を解説!

今回は中2で学習する連立方程式の単元から

池の周りを追いつく速さの文章問題について解説していくよ!

 

池の周りを追いつく問題というのは

問題

1周1500mの池のまわりを、AさんとB君は同じ地点から同時に出発して、それぞれ一定の速さで走ることにした。2人が反対方向に走ったところ、5分後に初めて出会った。2人が同じ方向に走ったところ、30分後にAさんがB君に追いついた。AさんとB君の走る速さをそれぞれ求めなさい。

こういう問題ですね。

ちょっと複雑そうに思えるんだけど

ちゃんとポイントをおさえておけば簡単に解くことができます。

では、まずは問題を解く上でのポイントを確認していきましょう!

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池の周りを追いつく問題のポイント!

池の周りを反対方向に進んで、2人が出会うというのは

2人の進んできた道のりを合わせると、池1周分の距離になります。

 

 

池の周りを同じ方向に進んで、追いつくというのは

1人が1周遅れになるということなので

2人の進んできた道のりの差が、ちょうど池1周分になるはずです。

 

 

 

これらの特徴を使って、連立方程式を式を立てていきます。

池の周りを追いつく問題のポイント

  • 反対方向に進む場合

2人の道のりを合わせると池1周分になる

  • 同じ方向に進む場合

2人の進んできた道のりの差が池1周分になる

 

池の周りを追いつく問題の解説

問題

1周1500mの池のまわりを、AさんとB君は同じ地点から同時に出発して、それぞれ一定の速さで走ることにした。2人が反対方向に走ったところ、5分後に初めて出会った。2人が同じ方向に走ったところ、30分後にAさんがB君に追いついた。AさんとB君の走る速さをそれぞれ求めなさい。

 

AさんとB君の速さを求めたいので

それぞれの速さを\(x,y\)としてやります。

 

まずは、2人が反対方向に進む場合から考えていきましょう。

Aさんは、速さが\(x\)で5分間進んでいるので

進んだ道のりは\(x\times 5=5x\)となります。

 

Bくんは、速さが\(y\)で5分間進んでいるので

進んだ道のりは\(y\times 5=5y\)となります。

 

2人が同じ方向に進む場合を考えると

Aさんは、速さが\(x\)で30分間進んでいるので

進んだ道のりは\(x\times 30=30x\)となります。

 

Bくんは、速さが\(y\)で30分間進んでいるので

進んだ道のりは\(y\times 30=30y\)となります。

差の式を作るときには

必ず(追いついた方)ー(追いつかれた方)で考えてくださいね。

逆にしちゃうと

負の数が出てきちゃってややこしくなっちゃうからね(^^;

式を作るときには、この部分を気を付けるようにしましょう。

 

 

以上から式が2本作れたので、連立方程式の完成です。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5x + 5y = 1500 \\ 30x – 30y = 1500 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

 

あとは、この方程式を解いていくだけです。

係数を揃えて、加減法で解いていきます。

$$30x+30y=9000$$

$$30x-30y=1500$$

それぞれの式を足すと

$$60x=10500$$

$$x=175$$

 

\(x=175\)を\(5x+5y=1500\)に代入すると

$$875+5y=1500$$

$$5y=625$$

$$y=125$$

 

よって、Aさんは分速175m、B君は分速125mであることがわかりました!

 

 

それでは、解き方が分かったところで

理解を深めるために練習問題に挑戦してみましょう!

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練習問題で理解を深める!

問題

1周3600mの池のまわりをA君とB君は同じところを同時に出発して、反対の方向にまわると15分後にはじめて出会った。また、同じ方向にまわると30分後にA君がB君にはじめて追いついた。A君とB君の走る速さをそれぞれ求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

A君 分速180m  B君 分速60m

 

A君の速さを\(x\)

B君の速さを\(y\)とすると

 

反対方向に進む場合

A君の道のりは\(15x\)、B君の道のりは\(15y\)と表せます。

よって

$$15x+15y=3600$$

 

同じ方向に進む場合

A君の道のりは\(30x\)、B君の道のりは\(30y\)と表せます。

よって

$$30x-30y=3600$$

 

2つの式から連立方程式を作ると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 15x + 15y = 3600 \\ 30x – 30y = 3600 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

 

あとは、この方程式を解いていくだけです。

係数を揃えて、加減法で解いていきます。

$$30x+30y=7200$$

$$30x-30y=3600$$

それぞれの式を足すと

$$60x=10800$$

$$x=180$$

 

\(x=180\)を\(15x+15y=3600\)に代入すると

$$2700+15y=3600$$

$$15y=900$$

$$y=60$$

 

まとめ

お疲れ様でした!

池の周りを追いつく問題では

反対に進む場合、同じ方向に進む場合で

式の作り方が異なってくるので

それぞれの特徴をしっかりと覚えておくことが大切ですね!

 

 

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