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【素因数分解】ある自然数の2乗になるためには?何をかける?わる?

今回解説する問題はこちら

54にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

中3の展開・因数分解の単元で出題される問題だね。

よく質問される問題の1つだから

この記事を通して、少しでも理解が深まると嬉しいです(^^)

 

素数ってなんだっけ??という方は、こちらの記事で復習しておいてくださいね!

>>>【素数とは何か?】小学生にも分かるように説明!

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ある自然数の2乗とは

まず、問題文にある「ある自然数の2乗」とは何なのかを理解しておきましょう。

ある自然数の2乗とは

$$5^2=25$$

$$9^2=81$$

$$12^2=144$$

25、81、144のように自然数を2乗してできあがる数のことを言います。

 

つまり、問題では

54に何かを掛けて、出来上がった数が25、81、144のような自然数を2乗することによって作ることができる数にしなさい。

という意味なんですね。

 

そして!

ここが非常に大切なポイントなのですが

$$25=5^2$$

$$81=3^4=3^2\times 3^2$$

$$144=2^4\times 3^2=2^2\times 2^2\times 3^2$$

このように

ある自然数の2乗によってできあがっている数は、素因数分解をするとすべて、2乗の掛け算によって表すことができるんですね!

 

このことを使いながら問題を解いていきますので、よく覚えておきましょう!

問題の解説!

それでは、問題の解き方を解説していきます。

54にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

(1)の解説

まず、54を素因数分解します。

$$54=2\times 3^3$$

そこから、それぞれの素因数を使って2乗のペアを作ります。

$$54=2\times 3^3=3^2\times 2\times 3$$

すると、2と3がペアになれずに余ってしまうことが分かりますね。

 

全部が2乗のペアになれば

その数自体も何かの2乗によってできた数ということになります。

よって、あと2と3が1つずつ必要だということが分かります。

 

だから、2と3を1つずつ掛けてやればいい!

つまり、\(2\times 3=6\)を掛ければ良いということになります。

 

これにより(1)の答えは6です。

(2)の解説

(1)より、6を掛ければ良いことが分かりました。

そして、6を掛けることにより

$$54\times 6=3^2\times 2 \times 3\times 6$$

$$=2^2\times 3^2\times 3^2$$

$$=(2\times 3\times 3)^2$$

$$=18^2$$

 

よって、出来上がった数は18の2乗であることがわかります。

 

これにより(2)の答えは18です。

わり算パターンも同様に!

240をできるだけ小さい自然数\(n\)でわって、ある自然数の2乗になるようにしたい。次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

わり算をしなさいというパターンでも同様に考えていきましょう。

まずは240を素因数分解して、2乗のペアを作ってやります。

$$240=2^4\times 3\times 5$$

$$=2^2\times 2^2 \times 3\times 5$$

すると、3と5が1つずつ余りモノになることがわかりますね。

 

よって、\(3\times 5=15\)を割ってやれば

すべて2乗のペアだけにしてやることができます。

 

そして、15で割ってやると

$$240\div 15=2^2\times 2^2 \times 3\times 5\div 15$$

$$=2^2\times 2^2$$

$$=(2\times 2)^2$$

$$=4^2$$

 

よって、15で割ると4の2乗になることが分かります。

 

以上より

(1)の答えは、15

(2)の答えは、4となります。

まとめ

お疲れ様でした!

ある自然数の2乗にしたいという問題では、素因数分解を使って2乗のペアを作ってやることがポイントです。

2乗のペアになれず、余りモノになってしまう数を見つけてやることができれば問題は簡単に解くことができますね(^^)

 

やり方を覚えておけば、なんてことない問題です!

ぜひ今のうちにマスターしておきましょう(/・ω・)/

 

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