数スタ運営部

数スタの公式LINEを開設しました!

友だち追加

 

数スタのオンラインショップ開設!

⇒ 数スタ STORE

中3受験生向けの演習課題を無料配布中!

【素因数分解】ある自然数の2乗になるためには?何をかける?わる?

今回解説する問題はこちら

54にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

中3の展開・因数分解の単元で出題される問題だね。

よく質問される問題の1つだから

この記事を通して、少しでも理解が深まると嬉しいです(^^)

 

素数ってなんだっけ??という方は、こちらの記事で復習しておいてくださいね!

>>>【素数とは何か?】小学生にも分かるように説明!

スポンサーリンク

ある自然数の2乗とは

まず、問題文にある「ある自然数の2乗」とは何なのかを理解しておきましょう。

ある自然数の2乗とは

$$5^2=25$$

$$9^2=81$$

$$12^2=144$$

25、81、144のように自然数を2乗してできあがる数のことを言います。

 

つまり、問題では

54に何かを掛けて、出来上がった数が25、81、144のような自然数を2乗することによって作ることができる数にしなさい。

という意味なんですね。

 

そして!

ここが非常に大切なポイントなのですが

$$25=5^2$$

$$81=3^4=3^2\times 3^2$$

$$144=2^4\times 3^2=2^2\times 2^2\times 3^2$$

このように

ある自然数の2乗によってできあがっている数は、素因数分解をするとすべて、2乗の掛け算によって表すことができるんですね!

 

このことを使いながら問題を解いていきますので、よく覚えておきましょう!

問題の解説!

それでは、問題の解き方を解説していきます。

54にできるだけ小さい自然数\(n\)をかけて、ある自然数の2乗にしたい。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

(1)の解説

まず、54を素因数分解します。

$$54=2\times 3^3$$

そこから、それぞれの素因数を使って2乗のペアを作ります。

$$54=2\times 3^3=3^2\times 2\times 3$$

すると、2と3がペアになれずに余ってしまうことが分かりますね。

 

全部が2乗のペアになれば

その数自体も何かの2乗によってできた数ということになります。

よって、あと2と3が1つずつ必要だということが分かります。

 

だから、2と3を1つずつ掛けてやればいい!

つまり、\(2\times 3=6\)を掛ければ良いということになります。

 

これにより(1)の答えは6です。

(2)の解説

(1)より、6を掛ければ良いことが分かりました。

そして、6を掛けることにより

$$54\times 6=3^2\times 2 \times 3\times 6$$

$$=2^2\times 3^2\times 3^2$$

$$=(2\times 3\times 3)^2$$

$$=18^2$$

 

よって、出来上がった数は18の2乗であることがわかります。

 

これにより(2)の答えは18です。

わり算パターンも同様に!

240をできるだけ小さい自然数\(n\)でわって、ある自然数の2乗になるようにしたい。次の問いに答えなさい。

(1)自然数\(n\)を求めなさい。

(2)どんな数の2乗になるか答えなさい。

わり算をしなさいというパターンでも同様に考えていきましょう。

まずは240を素因数分解して、2乗のペアを作ってやります。

$$240=2^4\times 3\times 5$$

$$=2^2\times 2^2 \times 3\times 5$$

すると、3と5が1つずつ余りモノになることがわかりますね。

 

よって、\(3\times 5=15\)を割ってやれば

すべて2乗のペアだけにしてやることができます。

 

そして、15で割ってやると

$$240\div 15=2^2\times 2^2 \times 3\times 5\div 15$$

$$=2^2\times 2^2$$

$$=(2\times 2)^2$$

$$=4^2$$

 

よって、15で割ると4の2乗になることが分かります。

 

以上より

(1)の答えは、15

(2)の答えは、4となります。

まとめ

お疲れ様でした!

ある自然数の2乗にしたいという問題では、素因数分解を使って2乗のペアを作ってやることがポイントです。

2乗のペアになれず、余りモノになってしまう数を見つけてやることができれば問題は簡単に解くことができますね(^^)

 

やり方を覚えておけば、なんてことない問題です!

ぜひ今のうちにマスターしておきましょう(/・ω・)/

 

スポンサーリンク

効率よく学習を進めていきたい方は必見!

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。