【因数分解の公式】中学生の問題まとめ!それぞれのやり方は?

こんにちは!数スタの小田です。

今回の記事では、中学で学習する因数分解の公式をまとめておきます。テスト前の最終確認、パターンごとの演習に取り組みたい方におススメです!

覚えておきたい公式は以下の通り!

因数分解の公式(中学生)

$$① ab+ac=a(b+c)$$

$$② x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$

$$③ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

$$④ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$

$$⑤ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

 

それでは、それぞれの公式を使った因数分解の問題について、例題を見ながら解き方を確認していきましょう!

今回の記事は、こちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

 

因数分解公式① 共通因数をくくりだす。

次の式を因数分解しなさい。

$$4x^2y-6xy^2$$

使う公式

$$① ab+ac=a(b+c)$$

\(4x^2y\) と \(6xy^2\)の共通因数である \(2xy\) をくくりだします。

$$4x^2y-6xy^2=2xy(2x-3y)$$

このように式を見たとき、それぞれの項に共通因数がある場合には公式①を使ってくくりだしをしましょう。

【因数分解】共通因数でくくる場合のやり方は?

因数分解公式② 掛けて足して

次の式を因数分解しなさい。

$$x^2-5x-14$$

使う公式

$$② x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$

 

掛けて\(-14\)、足して\(-5\)になる数を見つけます。

すると

\(-14=-7\times 2\\ \\ -7+2=-5\)

このように、\(-7\)と\(2\)という数の組み合わせを見つけることができます。

 

よって

$$x^2-5x-14=x^2+(-7+2)x-7\times 2\\ \\=(x-7)(x+2)$$

となります。

 

掛けて定数項、足して\(x\)の係数となる組み合わせを見つけることができれば完成ですね(^^)

因数分解公式③④ 二乗になる

次の式を因数分解しなさい。

$$x^2+8x+16$$

$$4x^2-12xy+9y^2$$

使う公式

$$③ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

$$④ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$

因数分解したい式の両サイドが、何かの二乗の形になっていれば、この公式を使う可能性が高いです。

まずは、次の式を因数分解していきましょう。

$$x^2+8x+16$$

両サイドの部分を見ると

$$(x)^2+8x+4^2$$

このように二乗の形で表すことができます。

次に、真ん中部分に注目すると

$$(x)^2+8x+4^2\\ \\=(x)^2+2\times x\times 4+4^2$$

このように両サイドの二乗で表されたパーツを掛けて2倍した形になっています。

このときには公式を用いて

$$(x)^2+8x+4^2 \\ \\ =(x)^2+8x+4^2\\ \\=(x)^2+2\times x\times 4+4^2\\ \\=(x+4)^2$$

と因数分解することできます。

 

次の式も同様に因数分解ができます。

$$4x^2-12xy+9y^2\\ \\=(2x)^2-2\times 2x\times 3y+(3y)^2\\ \\=(2x-3y)^2$$

 

因数分解をする式を見たとき、両サイドが二乗の形で表される場合には、この公式を使うのかな?と考えてみるといいですね。

そして、真ん中部分がそれぞれを掛けて2倍した形になっていることが分かったら確定!

そうでなければ公式②の掛けて足しての公式だなと判断していくとよいです。

因数分解の公式⑤ 二乗ひく二乗

次の式を因数分解しなさい。

$$4x^2-25y^2$$

使う公式

$$⑤ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

これは一番簡単な公式です(^^)

式が二乗ひく二乗の形になっていればこれを用いて因数分解をします。

$$4x^2-25y^2=(2x)^2-(5y)^2\\ \\=(2x+5y)(2x-5y)$$

 

因数分解したい式の項が2つだけになっていれば、この公式もしくは共通因数をくくりだすやり方を用いるようになります。

見た目で判断しやすいので、この公式を用いた因数分解はありがたいですね(^^)

【応用】置き換えの因数分解

次の式を因数分解しなさい。

$$a(x+y)-b(x+y)$$

$$(x+y)^2+3(x+y)+2$$

$$(a+b)^2-16$$

$$(x-1)y-x+1$$

ここからはちょっと発展的になりますが、置き換えを利用した因数分解について紹介しておきます。これらがスラスラと解けるようになれば因数分解マスターですね^^

まずは最初の問題から!

同じ部分を見つけて置き換えてやりましょう!

そうすれば置き換えた部分が共通因数となって、くくり出しができるようになりますね^^

 

次の問題も同じ部分を置き換えてやりましょう!

置き換えた式に因数分解の公式②を使ってやればOKですね!

 

さぁ、次!

これはちょっと思いつきにくいかもしれませんが…

よーく見てみると、\((a+b)^2-4^2\) ということで、(2乗)-(2乗)の形になっていますね。

なので、\((a+b)\) の部分を置き換えて公式⑤にあてはめてやればOKです!

 

ラスト!

このタイプはちょっと難易度高めで難しい…同じ部分を見つけるのが大変ですね(^^;)

これに関しては、たくさん問題を解いて慣れていくのが大切です。

こちらの記事に練習問題を用意しているのでチャレンジしてみてください^^

 

練習問題にチャレンジだ!

さぁ、ここまでのところで中学で習う因数分解パターンは一通り確認できましたか?

練習問題を用意したので、しっかりと満点がとれるかチャレンジしてみましょう!

【問題①】次の式を因数分解しなさい。

$$9ax+6bx$$

解答&解説

答え

$$3x(3a+2b)$$

$$\begin{eqnarray}9ax+6bx&=&3x\times 3a+3x\times 2b\\[5pt]&=&3x(3a+2b) \end{eqnarray}$$

 

【問題②】次の式を因数分解しなさい。

$$x^2+6x-27$$

解答&解説

答え

$$(x+9)(x-3)$$

$$\begin{eqnarray}x^2+6x-27&=&x^2+(9-3)x+9\times (-3)\\[5pt]&=&(x+9)(x-3) \end{eqnarray}$$

 

【問題③】次の式を因数分解しなさい。

$$x^2-10x+25$$

解答&解説

答え

$$(x-5)^2$$

$$\begin{eqnarray}x^2-10x+25&=&x^2-2\times 5\times x+5^2\\[5pt]&=&(x-5)^2 \end{eqnarray}$$

 

【問題④】次の式を因数分解しなさい。

$$4x^2-9y^2$$

解答&解説

答え

$$(2x+3y)(2x-3y)$$

$$\begin{eqnarray}4x^2-9y^2&=&(2x)^2-(3y)^2\\[5pt]&=&(2x+3y)(2x-3y) \end{eqnarray}$$

 

【問題⑤】次の式を因数分解しなさい。

$$(a+b)^2-3(a+b)-28$$

解答&解説

答え

$$(a+b+4)(a+b-7)$$

\(a+b=M\) とすると

$$\begin{eqnarray}(a+b)^2-3(a+b)-28&=&M^2-3M-28\\[5pt]&=&(M+4)(M-7)\\[5pt]&=&(a+b+4)(a+b-7) \end{eqnarray}$$

 

【問題⑥】次の式を因数分解しなさい。

$$(a+b)^2-2(a+b)$$

解答&解説

答え

$$(a+b)(a+b-2)$$

\(a+b=M\) とすると

$$\begin{eqnarray}(a+b)^2-2(a+b)&=&M^2-2M\\[5pt]&=&M(M-2)\\[5pt]&=&(a+b)(a+b-2) \end{eqnarray}$$

【特典】仕上げにやってほしい〇〇形式の演習課題

よし、これで各パターンの解き方は完璧です!

あとはテストに向けて何をやっておけば万全でしょうか?

それは…

ランダム形式の演習だ!!

 

これまではパターン別に解き方を確認してもらったので、どの公式を使えばよいのか判断がしやすかったと思います。ですが…テストになるとランダムに出題されるので、式を見てパッと解き方を判断していかなくてはなりません。

練習では解けていたのに、本番になるとミスを連発したりする生徒さんがいますが、これはランダム形式の演習を怠ったことが原因であることが多いです(T_T)

 

なので、テストと同じような形式でランダム演習の課題を用意しました!!

この記事を通して因数分解のやり方を一通り理解できた方は、最後の総仕上げとしてこちらのランダム演習にチャレンジしてみましょう。

これがバッチリ解けるようであれば、テストも自信を持って挑めるはずです(‘ω’)ノ

 

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【演習課題】因数分解まとめのランダム演習




 

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【因数分解の公式】中学生まとめ!

お疲れ様でした!

では、最後に因数分解の公式と例題をまとめておくので最終チェックしておきましょう(‘ω’)ノ

$$① ab+ac=a(b+c)$$

【例題】

$$4x^2y-6xy^2=2xy(2x-3y)$$

 

$$② a^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$

【例題】

$$x^2-5x-14=x^2+(-7+2)x-7\times 2\\ \\=(x-7)(x+2)$$

 

$$③ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

【例題】

$$x^2+8x+16=(x)^2+2\times x\times 4+4^2\\ \\=(x+4)^2$$

 

$$④ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$

【例題】

$$4x^2-12xy+9y^2\\ \\=(2x)^2-2\times 2x\times 3y+(3y)^2\\ \\=(2x-3y)^2$$

 

$$⑤ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

【例題】

$$4x^2-25y^2=(2x)^2-(5y)^2\\ \\=(2x+5y)(2x-5y)$$

 

それぞれの公式を発展的に学習したい場合は、こちらの記事がおすすめです。

【高校入試】因数分解の難問を解説!難関高校の入試問題に挑戦しよう!

 

 

2 件のコメント

  • 匿名 より:

    a^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
    のところは間違っていませんか?

    ブログ主様、中学数学を復習するために活用させてもらいました。
    とても分かりやすく、挿絵のチョイスも面白くて楽しめました。
    ほんとありがとうございます!

    • 数スタ運営者 より:

      ご指摘ありがとうございました!!

      挿絵も楽しんでいただけて嬉しいです。
      「楽しく学ぶ」を実践してもらえたら
      これ以上に嬉しいことはありません^^

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