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【平方根】大小関係を不等号で表す問題を解説!

今回は平方根の大小関係を表す問題を

パターン別に解説していくよ!

 

今回紹介していく問題はこちら

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい。

(1)\(\sqrt{3} ,\sqrt{5}\)

 

(2)\(-\sqrt{6},-\sqrt{7}\)

 

(3)\(3,\sqrt{7}\)

 

(4)\(\sqrt{0.1},0.1\)

 

(5)\(2\sqrt{3},3\sqrt{2}\)

 

(6)\(\displaystyle -\frac{1}{3},-\sqrt{\frac{1}{3}}\)

 

(7)\(5,\sqrt{21},\sqrt{23}\)

 

(8)\(-\sqrt{35},-6,-\sqrt{37}\)

 

(9)\(\displaystyle \frac{3}{5},\sqrt{\frac{3}{5}},\frac{\sqrt{3}}{5},\frac{3}{\sqrt{5}}\)

 

次の条件を満たす\(x\)の値をすべて求めなさい。

(10)\(4<\sqrt{x}<5\)

 

(11)\(\sqrt{10}<x<\sqrt{50}\)

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【平方根】大小関係を不等号で表すための予備知識

平方根の大小関係を考えるときに

知っておきたい予備知識がこちら

 

平方根大小を考えるポイント正の数\(a,b\)で、\(a<b\)ならば

\(\Large \sqrt{a}<\sqrt{b}\)     \(,\Large-\sqrt{a}>-\sqrt{b}\)

$$\sqrt{2}<\sqrt{3}$$

$$-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$$

 

ルートのついていない数は、2乗するとルートの形になる。

$$2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$$

$$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\times 5}=\sqrt{20}$$

 

 

【平方根の大小】各問題の答え&解説

それでは、各問題の解説をしていきます。

(1)の解説!

(1)\(\sqrt{3} ,\sqrt{5}\)

答え

$$\sqrt{3}<\sqrt{5}$$

 

ルートの中身である3と5の大小関係を考えれば簡単に分かりますね。

\(3<5\)なので、\(\sqrt{3}<\sqrt{5}\)となります。

 

(2)の解説!

(2)\(-\sqrt{6},-\sqrt{7}\)

答え

$$-\sqrt{6}>-\sqrt{7}$$

 

負の数の場合、-6と-7の大小関係を考えます。

\(-6>-7\)なので、\(-\sqrt{6}>-\sqrt{7}\)となります。

 

(3)の解説!

(3)\(3,\sqrt{7}\)

答え

$$3>\sqrt{7}$$

 

ルートがついている数とそうでない数を比較するときには

パッと見ではどちらが大きいかを判断することができません。

そのため、3をルートがついた形に変形してやり

$$\Large{3=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}}$$

同じルート同士にしてから大小関係を比較しましょう。

 

\(\sqrt{9}>\sqrt{7}\)なので、\(3>\sqrt{7}\)となります。

 

(4)の解説!

(4)\(\sqrt{0.1},0.1\)

答え

$$\sqrt{0.1}>0.1$$

 

小数が出てきても同様に考えていきましょう。

0.1をルートの形に変形してから大小関係を比較します。

$$\Large{0.1=\sqrt{0.1^2}=\sqrt{0.01}}$$

 

\(\sqrt{0.1}>\sqrt{0.01}\)なので、\(\sqrt{0.1}>0.1\)となります。

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(5)の解説!

(5)\(2\sqrt{3},3\sqrt{2}\)

答え

$$2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$$

 

それぞれルートの形ではありますが

ルートの外に数があるため

大小関係が分かりにくいです…

 

こういう場合には、ルートの外にある数を中に入れてしまいましょう。

$$\Large{2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times 3}=\sqrt{12}}$$

$$\Large{3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\times 2}=\sqrt{18}}$$

そうすることで、大小関係がハッキリとわかるようになりますね(^^)

\(\sqrt{12}<\sqrt{18}\)なので、\(2\sqrt{3}<3\sqrt{2}\)となります。

 

(6)の解説!

(6)\(\displaystyle -\frac{1}{3},-\sqrt{\frac{1}{3}}\)

答え

$$\displaystyle -\frac{1}{3}>-\sqrt{\frac{1}{3}}$$

 

\(\displaystyle -\frac{1}{3}\)をルートの形に変形します。

$$\displaystyle -\frac{1}{3}=-\sqrt{ \left ( \frac{1}{3} \right ) ^2}$$

$$=-\sqrt{ \frac{1}{9}}$$

 

\(\displaystyle -\frac{1}{9}>-\frac{1}{3}\)だから

\(\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{9}}<-\sqrt{\frac{1}{3}}\)なので、\(\displaystyle -\frac{1}{3}>-\sqrt{\frac{1}{3}}\)となります。

 

(7)の解説!

(7)\(5,\sqrt{21},\sqrt{23}\)

答え

$$\sqrt{21}<\sqrt{23}<5$$

 

5をルートの形に変形しましょう。

$$\Large{5=\sqrt{5^2}=\sqrt{25}}$$

 

そして、3つの数の大小関係を比較するときには

それぞれの数を

小<中<大 に並びかえて表してやります。

 

\(\sqrt{21}<\sqrt{23}<\sqrt{25}\)なので、\(\sqrt{21}<\sqrt{23}<5\)となります。

 

(8)の解説!

(8)\(-\sqrt{35},-6,-\sqrt{37}\)

答え

$$-\sqrt{37}<-6<-\sqrt{35}$$

 

ー6をルートの形に変形して、それぞれの数の大小関係を比較していきます。

$$\Large{-6=-\sqrt{6^2}=-\sqrt{36}}$$

 

\(-\sqrt{37}<-\sqrt{36}<-\sqrt{35}\)なので、\(-\sqrt{37}<-6<-\sqrt{35}\)となります。

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(9)の解説!

(9)\(\displaystyle \frac{3}{5},\sqrt{\frac{3}{5}},\frac{\sqrt{3}}{5},\frac{3}{\sqrt{5}}\)

答え

$$\frac{\sqrt{3}}{5}<\frac{3}{5}<\sqrt{\frac{3}{5}}<\frac{3}{\sqrt{5}}$$

 

それぞれの数をルートの数に変形して、大小関係を比較していきましょう。

 

全てルートの形に変形できたら

ルートの中身を通分してやることで

大小関係が分かりやすくなります。

 

よって

$$\frac{\sqrt{3}}{5}<\frac{3}{5}<\sqrt{\frac{3}{5}}<\frac{3}{\sqrt{5}}$$

となります。

 

(10)の解説!

次の条件を満たす\(x\)の値をすべて求めなさい。

(10)\(4<\sqrt{x}<5\)

答え

$$17,18,19,20,21,22,23,24$$

 

4と5をルートの形にして\(x\)の範囲を求めていきます。

$$\sqrt{16}<\sqrt{x}<\sqrt{25}$$

よって、条件を満たす\(x\)は

17,18,19,20,21,22,23,24となります。

 

(11)の解説!

次の条件を満たす\(x\)の値をすべて求めなさい。

(11)\(\sqrt{10}<x<\sqrt{50}\)

答え

$$4,5,6,7$$

 

\(x\)をルートの形に変形します。

$$x=\sqrt{x^2}$$

すると

\(\sqrt{10}<\sqrt{x^2}<\sqrt{50}\)となるので

\(10<x^2<50\)を満たす\(x\)の範囲を考えれば良いことになります。

 

10から50の間の数で

ある数の2乗になっているのは

\(4^2=16\)

\(5^2=25\)

\(6^2=36\)

\(7^2=49\)

ということで

答えは4,5,6,7となります。

 

【平方根の大小】 まとめ

お疲れ様でした!

 

平方根の大小関係を比べるときには

それぞれの数をルートの形に変形して

中身の大小を比較してやります。

 

入試では(10)(11)のような

範囲を与えられる問題が多いですが

考え方は非常にシンプルです。

 

ルートに変形して、中身を比べる!

それだけですね(^^)

 

あとは練習あるのみ!

たくさん練習して、平方根の大小関係をマスターしましょう。

ファイトだー(/・ω・)/

 

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