【平方根】a√b の形に変形するやり方とは?問題を使って徹底解説!

今回は『平方根』の単元から

ルートを\(a\sqrt{b}\)の形にする方法を解説していくよ!

 

シンプルな変形から

$$\Large{\displaystyle \sqrt{24}}$$

このような数の大きなもの

$$\Large{\sqrt{336}}$$

分数のもの

$$\Large{\sqrt{\frac{5}{16}}}$$

$$\Large{\frac{\sqrt{12}}{4}}$$

まで徹底解説していきます!

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平方根変形の基本

まず、平方根の形を変形していく上で

必ず覚えておきたい基礎がこちら

正の数の2乗になっているとルートの外に出すことができる

このようにルートの中に正の数の2乗になっているモノがあれば

ルートの外に出すことができます。

 

 

このように2乗になるモノが複数個あったり

2乗にならないモノが混じっていても

 

同様に変形することができます。

 

 

つまり

変形したいルートの中身に

2乗になる数がどれだけあるか?を見極めることができれば

簡単に\(a\sqrt{b}\)の形に変形することができます。

 

 

それでは

2乗になる数はどうやって見つければ良いのか?

 

素因数分解を使うパターン

ルートの中に、2乗の数がどれだけあるかを見つける方法の一つとして『素因数分解』を利用する方法があります。

 

例えば\(\sqrt{45}\)を変形して\(a\sqrt{b}\)の形にしたい場合

45を素因数分解してやります。

 

すると45には3の2乗が含まれていることがわかります。

よって

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 45}=\sqrt{\mathstrut 3^2\times 5}}$$

$$\Large{=3\sqrt{\mathstrut 5}}$$

と、変形してやることができます。

 

 

ちょっと手間ではありますが

素因数分解を利用することで

2乗になっている数を簡単に見つけることができました。

 

ただし!

素因数分解を利用して2乗を見つける方法では

ちょっと気をつけたいことがあります。

336を素因数分解すると

 

$$\Large{336=2^4\times 3\times 7}$$

となるのですが

平方根の変形では2乗になるパーツを見つけたいだけなので

\(2^4\)は崩してやって

$$\Large{336=2^2\times2^2\times 3\times 7}$$

としてやりましょう。

すると

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 336}=\sqrt{\mathstrut 2^2\times2^2\times 3\times 7}}$$

$$\Large{=2\times2\sqrt{\mathstrut 3\times 7}}$$

$$\Large{=4\sqrt{\mathstrut 21}}$$

となります。

 

大きな数を素因数分解するときには、気を付けてくださいね。

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平方数の積を作るパターン

上では、素因数分解を使って

2乗になるパーツを見つけるという方法を紹介しました。

 

でも、正直…

素因数分解って

めんどうじゃなーーーい??

 

というわけで

ちょっと上級者向けではありますが

平方数を使って考える方法を紹介します。

 

平方数とは自然数の2乗によってできあがる数のことをいいます。

$$\Large{1^2=1}$$

$$\Large{2^2=4}$$

$$\Large{3^2=9}$$

$$\Large{4^2=16}$$

$$\Large{5^2=25}$$

$$\Large{6^2=36}$$

$$\Large{7^2=49}$$

$$\Large{8^2=64}$$

$$\Large{9^2=81}$$

$$\Large{10^2=100}$$

$$\Large{11^2=121}$$

$$\Large{12^2=144}$$

$$\Large{13^2=169}$$

$$\Large{14^2=196}$$

$$\Large{15^2=225}$$

$$\Large{\vdots}$$

つまり、これらの数の積で表すことができれば

その数は、2乗のパーツを含むことがわかります。

例えば

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 24}=\sqrt{\mathstrut 4\times 6}}$$

24は4という平方数を使って積の形で表すことができます。

\(4=2^2\)になるので

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 24}=2\sqrt{\mathstrut 6}}$$

となります。

 

このように

2乗となる平方数を覚えておけば

これらの数を使って積の形で表すことができないか考えます。

 

平方数を使って表すことができれば

ルートの外に出してやることができます。

いくつか例を挙げておきます。

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 12}=\sqrt{\mathstrut 4\times 3}}$$

$$\Large{=2\sqrt{\mathstrut 3}}$$

 

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 32}=\sqrt{\mathstrut 16\times 2}}$$

$$\Large{=4\sqrt{\mathstrut 2}}$$

 

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 50}=\sqrt{\mathstrut 25\times 2}}$$

$$\Large{=5\sqrt{\mathstrut 2}}$$

 

$$\Large{\sqrt{\mathstrut 180}=\sqrt{\mathstrut 36\times 5}}$$

$$\Large{=6\sqrt{\mathstrut 5}}$$

 

 

たくさん問題をこなして慣れてくれば

素因数分解を使ってやるよりも楽にできるようになるはずです(^^)

 

 

それでは、問題演習を通して理解を深めていきましょう。

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演習問題で理解を深める!

次の数を変形して、\(a\sqrt{b}\)の形にしなさい。

(1)\(\sqrt{48}\)

(2)\(\sqrt{588}\)

(3)\(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{25}}\)

(4)\(\displaystyle \frac{\sqrt{12}}{3}\)

 

(1)の答え

$$\Large{4\sqrt{3}}$$

48を素因数分解してやると

\(\Large{48=2^4\times 3}\)となります。

2乗がどれくらいあるかを知りたいので4乗は

\(\Large{48=2^2\times 2^2\times 3}\)というように変形してやります。

 

よって

$$\Large{\sqrt{48}=\sqrt{2^2\times 2^2\times 3}}$$

$$\Large{=2\times 2\sqrt{3}}$$

$$\Large{=4\sqrt{3}}$$

 

 

16という平方数を使って考えると

$$\Large{\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}}$$

$$\Large{=4\sqrt{3}}$$

こんな感じで変形していくこともできます。

 

(2)の答え

$$\Large{14\sqrt{3}}$$

588を素因数分解してやると

\(\Large{588=2^2\times 3\times 7^2}\)となります。

 

よって

$$\Large{\sqrt{588}=\sqrt{2^2\times 3\times 7^2}}$$

$$\Large{=2\times 7\sqrt{3}}$$

$$\Large{=14\sqrt{3}}$$

となります。

 

このように大きい数を変形する場合には

平方数を利用して考えるのは難しいですね。

素因数分解で考えていきましょう。

 

(3)の答え

$$\Large{\frac{\sqrt{3}}{5}}$$

ルートを分母、分子それぞれにわけてやります

$$\Large{\sqrt{\frac{3}{25}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}}}$$

$$\Large{=\frac{\sqrt{3}}{5}}$$

そうすると、このように変形することができます。

 

(4)の答え

$$\Large{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

 

分数ではありますが

気にすることなく分子のルートを変形していきましょう。

$$\Large{\frac{\sqrt{12}}{3}=\frac{\sqrt{2^2\times 3}}{3}}$$

$$\Large{=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

となります。

 

a√bの形に変形する方法 まとめ

お疲れ様でした!

\(a\sqrt{b}\)の形に変形する方法を練習してきました。

変形のポイントは

2乗を見つけて、外に出す。

ということでしたね。

 

 

2乗になる数を見つけるためには

素因数分解を利用するパターンと

平方数を利用するパターンがありました。

 

慣れるまでは素因数分解が楽だとは思いますが

数学の得意な人のほとんどは、平方数を利用するパターンを

頭の中で計算してスラスラ解くことができています。

 

素因数分解でのやり方を完全にマスターした人は

平方数を利用するパターンにも挑戦してみましょう!

 

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