【絶対値記号の外し方】文字、2つあるときの場合分けは？？

高校数学Ⅰで学習する内容から

「絶対値記号の外し方」

について解説していきます。

絶対値の外し方のポイントは単純です。

中身が正なら、そのまま。

中身が負なら、マイナスをつけてはずす。

もしも絶対値の中身の正負が判断できない場合

このように2パターンに場合分けをしていくことになります。

では、問題を見ながら絶対値の外し方について確認していきましょう！

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

【基本編】

【応用編】

絶対値記号の外し方【基本】

絶対値の中身が正ならそのまま。

絶対値の中身が負ならマイナスつける。

この基本に沿って考えていけばOKです。

（1）

これは簡単ですね！

絶対値の中身\(-6\)は負の数なので、マイナスをつけて外していきましょう。

（2）

\(3-\pi\)って、パッと見では正に見えませんか？？

だけど、\(\pi=3.14\cdots\) であることを思い出してもらえると、

\(3-\pi=3-3.14\cdots =-0.14\cdots\)

となり、負の数であることが分かりますね。

絶対値では、\(\pi\)を使った問題がよく出題されるので覚えておきましょう。

（3）

ルートが付いていると正負の判断がつきにくいですね。

この場合には、整数をルートの形にすることで正負の判断がつきやすくなります。

また、ルートの近似値を覚えておくというやり方もあります。

\(\sqrt{2}=1.4142\cdots\) 、\(\sqrt{3}=1.732\cdots\)

>平方根、ルートの値を語呂合わせ！覚え方まとめ

練習問題

絶対値記号の外し方【場合分け】

絶対値の中身に文字が入っていて、

符号が決められないときには、場合分けをしていきましょう。

（1）

絶対値の中身 \(x-2\) に注目。

\(x-2\) が正（0以上）になるとき

\(x-2≧0\) ⇒ \(x≧2\) のときには、絶対値はそのままはずせるので

\(|x-2|=x-2\) となります。

\(x-2\) が負になるとき

\(x-2<0\) ⇒ \(x<2\) のときには、絶対値はマイナスをつけてはずすので

\(|x-2|=-(x-2)=-x+2\) となります。

これらをまとめると次のように表せます。

（2）

こちらも（1）と同じように考えていけばOKです。

練習問題

解説＆答えはこちら

答え

$$\begin{eqnarray}2|x-1|-3=\begin{cases}2x-5 & ( x ≧ -1 ) \\-2x-1 & ( x < 1 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

絶対値記号の外し方【2つ】

絶対値が2つ以上になってきたときには、ちょっとだけ場合分けが複雑になります。

ですが、考え方は単純！

それぞれの絶対値での場合分けを組み合わせて考えていけばOKです。

まず、\(|x+2|\)の場合分けを考えると、

$$\begin{eqnarray}|x+2|=\begin{cases}x+2 & ( x ≧ -2 ) \\-x-2 & ( x < 2 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

次に、\(|x-1|\)の場合分けを考えると、

$$\begin{eqnarray}|x-1|=\begin{cases}x-1 & ( x ≧ 1 ) \\-x+1 & ( x < 1 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

これらの場合分けを1つの数直線上にまとめてみると、

このように、3つのパターンがあると分かりますね。

今までは絶対値が1つだったので、それが正or負の2パターンでしたが、

絶対値が複数になると、負と負、正と負、正と正など

様々なパターンが考えられるようになります。

では、この3つのパターンにわけて絶対値をはずしていきましょう。

\(x<-2\) のとき

\(|x+2|=-x-2\)、\(|x-1|=-x+1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&-x-2-x+1\\[5pt]&=&-2x-1 \end{eqnarray}$$

\(-2≦x<1\) のとき

\(|x+2|=x+2\)、\(|x-1|=-x+1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&x+2-x+1\\[5pt]&=&3 \end{eqnarray}$$

\(1≦x\) のとき

\(|x+2|=x+2\)、\(|x-1|=x-1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&x+2+x-1\\[5pt]&=&2x+1 \end{eqnarray}$$

以上のことをまとめると

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|=\begin{cases}-2x-1 & ( x < -2 ) \\3 & ( -2≦x <1 )\\2x+1&(x≧1)\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

絶対値が複数ある場合には、それぞれの場合分けをして、

1つの数直線上にまとめて考えるというのがポイントですね！

練習問題

解説＆答えはこちら

答え

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|=\begin{cases}-2x+2 & ( x < -1 ) \\4 & ( -1≦x <3 )\\2x-2&(x≧3)\end{cases}\end{eqnarray}$$

\(x<-1\) のとき

\(|x+1|=-x-1\)、\(|x-3|=-x+3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&-x-1-x+3\\[5pt]&=&-2x+2 \end{eqnarray}$$

 

\(-1≦x<3\) のとき

\(|x+1|=x+1\)、\(|x-3|=-x+3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&x+1-x+3\\[5pt]&=&4 \end{eqnarray}$$

 

\(3≦x\) のとき

\(|x+1|=x+1\)、\(|x-3|=x-3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&x+1+x-3\\[5pt]&=&2x-2 \end{eqnarray}$$

まとめ！

お疲れ様でした！

絶対値の外し方について基礎から応用まで紹介しました。

ですが、考え方は1つ。

絶対値の中身が正なら、そのまま。

絶対値の中身が負なら、マイナスつける。

これをおさえておけば大丈夫でしょう(^^)

絶対値の外し方を理解したら、

次は絶対値の方程式、不等式ですね！

>絶対値の方程式、不等式の解き方をイチから解説！

ぜひ、こちらの問題にも挑戦してみてくださいね(/・ω・)/