【絶対値記号の外し方】文字、2つあるときの場合分けは??




高校数学Ⅰで学習する内容から

「絶対値記号の外し方」

について解説していきます。

 

絶対値の外し方のポイントは単純です。

中身が正なら、そのまま。

中身が負なら、マイナスをつけてはずす。

 

もしも絶対値の中身の正負が判断できない場合

このように2パターンに場合分けをしていくことになります。

 

では、問題を見ながら絶対値の外し方について確認していきましょう!

 

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

【基本編】

 

【応用編】

絶対値記号の外し方【基本】

【問題】

次の値をそれぞれ求めよ。

(1)\(|-6|\)

(2)\(|3-\pi|\)

(3)\(|\sqrt{2}-1|\)

絶対値の中身が正ならそのまま。

絶対値の中身が負ならマイナスつける。

この基本に沿って考えていけばOKです。

 

(1)

これは簡単ですね!

絶対値の中身\(-6\)は負の数なので、マイナスをつけて外していきましょう。

 

(2)

\(3-\pi\)って、パッと見では正に見えませんか??

だけど、\(\pi=3.14\cdots\) であることを思い出してもらえると、

\(3-\pi=3-3.14\cdots =-0.14\cdots\)

となり、負の数であることが分かりますね。

絶対値では、\(\pi\)を使った問題がよく出題されるので覚えておきましょう。

 

(3)

ルートが付いていると正負の判断がつきにくいですね。

この場合には、整数をルートの形にすることで正負の判断がつきやすくなります。

 

また、ルートの近似値を覚えておくというやり方もあります。

\(\sqrt{2}=1.4142\cdots\) 、\(\sqrt{3}=1.732\cdots\)

>平方根、ルートの値を語呂合わせ!覚え方まとめ

 

練習問題

【問題】

次の値をそれぞれ求めよ。

(1)\(|6-4\sqrt{2}|\)

(2)\(|3\pi-10|\)

解説&答えはこちら

答え

(1)\(6-4\sqrt{2}\)

(2)\(10-3\pi\)

(1)

\(6=\sqrt{36}\)、\(4\sqrt{2}=\sqrt{32}\)

よって、\(6-4\sqrt{2}\)は正となるので、絶対値はそのままはずす。

(2)

\(3\pi=3\times 3.14\cdots=9.42\cdots\)

よって、\(3\pi-10\) は負となるので、マイナスをつけてはずす。

 

絶対値記号の外し方【場合分け】

【問題】

次の式の絶対値記号を\(x\)の値によって場合分けしてはずせ。

(1)\(|x-2|\)

(2)\(|2x+4|\)

絶対値の中身に文字が入っていて、

符号が決められないときには、場合分けをしていきましょう。

 

(1)

絶対値の中身 \(x-2\) に注目。

\(x-2\) が正(0以上)になるとき

\(x-2≧0\) ⇒ \(x≧2\) のときには、絶対値はそのままはずせるので

\(|x-2|=x-2\) となります。

 

\(x-2\) が負になるとき

\(x-2<0\) ⇒ \(x<2\) のときには、絶対値はマイナスをつけてはずすので

\(|x-2|=-(x-2)=-x+2\) となります。

これらをまとめると次のように表せます。

 

(2)

こちらも(1)と同じように考えていけばOKです。

 

練習問題

【問題】

次の式の絶対値記号を\(x\)の値によって場合分けしてはずせ。

$$2|x-1|-3$$

解説&答えはこちら

答え

$$\begin{eqnarray}2|x-1|-3=\begin{cases}2x-5 & ( x ≧ -1 ) \\-2x-1 & ( x < 1 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

 

絶対値記号の外し方【2つ】

【問題】

次の式の絶対値記号をはずして表せ。

$$|x+2|+|x-1|$$

絶対値が2つ以上になってきたときには、ちょっとだけ場合分けが複雑になります。

ですが、考え方は単純!

それぞれの絶対値での場合分けを組み合わせて考えていけばOKです。

 

まず、\(|x+2|\)の場合分けを考えると、

$$\begin{eqnarray}|x+2|=\begin{cases}x+2 & ( x ≧ -2 ) \\-x-2 & ( x < 2 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

 

次に、\(|x-1|\)の場合分けを考えると、

$$\begin{eqnarray}|x-1|=\begin{cases}x-1 & ( x ≧ 1 ) \\-x+1 & ( x < 1 )\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

これらの場合分けを1つの数直線上にまとめてみると、

このように、3つのパターンがあると分かりますね。

今までは絶対値が1つだったので、それが正or負の2パターンでしたが、

絶対値が複数になると、負と負、正と負、正と正など

様々なパターンが考えられるようになります。

 

では、この3つのパターンにわけて絶対値をはずしていきましょう。

\(x<-2\) のとき

\(|x+2|=-x-2\)、\(|x-1|=-x+1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&-x-2-x+1\\[5pt]&=&-2x-1 \end{eqnarray}$$

 

\(-2≦x<1\) のとき

\(|x+2|=x+2\)、\(|x-1|=-x+1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&x+2-x+1\\[5pt]&=&3 \end{eqnarray}$$

 

\(1≦x\) のとき

\(|x+2|=x+2\)、\(|x-1|=x-1\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|&=&x+2+x-1\\[5pt]&=&2x+1 \end{eqnarray}$$

 

以上のことをまとめると

$$\begin{eqnarray}|x+2|+|x-1|=\begin{cases}-2x-1 & ( x < -2 ) \\3 & ( -2≦x <1 )\\2x+1&(x≧1)\end{cases}\end{eqnarray}$$

となります。

絶対値が複数ある場合には、それぞれの場合分けをして、

1つの数直線上にまとめて考えるというのがポイントですね!

練習問題

【問題】

次の式の絶対値記号をはずして表せ。

$$|x+1|+|x-3|$$

解説&答えはこちら

答え

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|=\begin{cases}-2x+2 & ( x < -1 ) \\4 & ( -1≦x <3 )\\2x-2&(x≧3)\end{cases}\end{eqnarray}$$

\(x<-1\) のとき

\(|x+1|=-x-1\)、\(|x-3|=-x+3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&-x-1-x+3\\[5pt]&=&-2x+2 \end{eqnarray}$$

 

\(-1≦x<3\) のとき

\(|x+1|=x+1\)、\(|x-3|=-x+3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&x+1-x+3\\[5pt]&=&4 \end{eqnarray}$$

 

\(3≦x\) のとき

\(|x+1|=x+1\)、\(|x-3|=x-3\) だから

$$\begin{eqnarray}|x+1|+|x-3|&=&x+1+x-3\\[5pt]&=&2x-2 \end{eqnarray}$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

絶対値の外し方について基礎から応用まで紹介しました。

ですが、考え方は1つ。

 

絶対値の中身が正なら、そのまま。

絶対値の中身が負なら、マイナスつける。

 

これをおさえておけば大丈夫でしょう(^^)

絶対値の外し方を理解したら、

次は絶対値の方程式、不等式ですね!

>絶対値の方程式、不等式の解き方をイチから解説!

ぜひ、こちらの問題にも挑戦してみてくださいね(/・ω・)/

 

 

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2 件のコメント

  • 通りすがり より:

    何見て分からなかったのに一発で理解できました!!
    なぜ3つで場合分けなのかずっと疑問に思ってましたが、図での解説がとても分かりやすかったです。
    本当にありがとうございます。

    • 数スタ運営者 より:

      お役に立てて嬉しいです^^
      ちょっと面倒だけど、図をかいて考えると理解しやすいよね!

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