【連立不等式の整数解】範囲に「=」をつける、つけないどっち??




高校数学Ⅰで学習する不等式の単元から

「連立不等式の整数解」

についての問題を解説します。

 

連立不等式の整数解とは、次のような問題のことをいいます。

【問題】ニューアクションβより

\(a\)を定数とする。2つの不等式

\(2(3x-4)-1>-3(2x+11)\cdots ①\)

\(4x+2a<3x+2\cdots ②\)

をともに満たす整数\(x\)がちょうど3個となるような\(a\)の値を求めよ。

 

よく聞かれる質問として、

答えの範囲に<、≦のどちらを選べばいいか分かりません…

というものがあります。

 

というわけですので、

この点について詳しく解説していきますね!

連立不等式の整数解の問題解説!

【問題】ニューアクションβより

\(a\)を定数とする。2つの不等式

\(2(3x-4)-1>-3(2x+11)\cdots ①\)

\(4x+2a<3x+2\cdots ②\)

をともに満たす整数\(x\)がちょうど3個となるような\(a\)の値を求めよ。

 

まずは、①②それぞれの不等式を解きましょう。

①より

$$\begin{eqnarray}2(3x-4)-1&>&-3(2x+11)\\[5pt]6x-8-1&>&-6x-33\\[5pt]12x&>&-24\\[5pt]x&>&-2 \end{eqnarray}$$

②より

$$\begin{eqnarray}4x+2a&<&3x+2\\[5pt]x&<&2-2a \end{eqnarray}$$

となります。

 

そして、これらの範囲を同時に満たす\(x\)が存在するとき

\(x\)の値の範囲は、\(-2<x<2-2a\) となるはずです。

\(2-2a\)の値が具体的には分かりませんが、

今のところ\(-2\) より大きくないといけないってことは分かりますよね。

 

次に、問題で与えられているように

\(-2<x<2-2a\)の中に整数がちょうど3個だけ入るように考えていきます。

範囲の左端が\(-2\)であることから、整数を3個入れるためには次のようになります。

ここで、\(2-2a\) の場所が具体的に判明します。

 

次に\(2-2a\) をもっと細かく絞っていきます。

1と2の間にあることは分かりましたが、

1と2に等しくなる場合はどうなのか?

をチェックしていきましょう。

 

\(2-2a\) が1と等しくなる場合、範囲は次のようになってしまいます。

これだと範囲の中に入っている整数が\(-1,0\)の2個だけになってしまい、問題の条件を満たさなくなってしまいます。

このことから、\(2-2a\)は1にはならない。ということが分かります。

 

次に、\(2-2a\) が2と等しくなる場合、範囲は次のようになります。

こちらはちゃんと範囲の中に整数が3個入っていて、問題の条件を満たしていますね。

このことから、\(2-2a\)は2でもOK!ということが分かります。

 

以上のことをまとめると、

①②を満たす整数\(x\)がちょうど3個となるようにするためには、

\(2-2a\)が1と2の間にくる必要がある。

だけど、\(2-2a\)が1になってしまうとダメ、2のときはOK。

\(1<2-2a≦2\)

このように、\(a\)に関する不等式を作ることができました。

あとはこれを解いていけばOKです。

$$\begin{eqnarray}&&1<2-2a≦2\\[5pt]&&-1<-2a≦0\\[5pt]&&0≦a<\frac{1}{2}\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

いかがだったでしょうか。

答えの範囲に=がつく、つかないの理由が分かりましたか?

=にしたときにちゃんと条件を満たすかどうか。

これをチェックしていけば、間違いなく判断ができるはずですよ(^^)

不等式の整数解を考える手順
  1. それぞれの不等式を解く。
  2. \(a\)を含む値がどこの間にくればよいかを考える。
  3. ②で求めた範囲の両端でも成り立つか調べる。
  4. ②③を元に不等式を作る。

 

では、練習問題に挑戦して理解を深めておきましょう!

練習問題に挑戦!

【問題】

連立不等式 \(x-6<5-x\cdots①\),  \(5x+1≦6x+a\cdots ②\) を満たす\(x\)の整数値が5のみとなるように、\(a\)の値の範囲を求めよ。

解説&答えはこちら

答え

$$-4≦a<-3$$

①より

$$\begin{eqnarray}x-6&<&5-x\\[5pt]2x&<&11\\[5pt]x&<&\frac{11}{2} \end{eqnarray}$$

②より

$$\begin{eqnarray}5x+1&≦&6x+a\\[5pt]-x&≦&a-1\\[5pt]x&≧&1-a \end{eqnarray}$$

よって、

$$\begin{eqnarray}&&4<1-a≦5\\[5pt]&&3<-a≦4\\[5pt]-4≦a<-3\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

これで連立不等式の整数解についてはバッチリかな?

この問題は模試や入試で出題されやすい問題だから

確実に点が取れるようしておくと、偏差値も上がりやすくなるね(/・ω・)/

 

他の不等式問題については、こちらの記事も参考にしてみてね!

>不等式の解き方まとめ!高校数学はこれでバッチリ!

 

 

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