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【連立不等式】3つの不等式の解き方を問題解説!

今回は高校数学Ⅰで学習する

『不等式』という単元から

こういった問題の解き方を解説していきます。

$$-8<3x-5<4$$

3つの式がつながっている不等式!

 

これはどのように解いていけば良いのでしょうか。

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3つの不等式の解き方

次の不等式を解け。

$$-8<3x-5<4$$

 

このように3つの式がつながっている不等式を解くためには

2つの不等式に分けて、連立不等式として解いていきます。

3つの不等式のうち

小<中<大

⇒ 小<中

⇒ 中<大

というように2つの不等式にわけます。

小<大とは、しないので気を付けてね!

 

それでは、連立不等式を解いていきます。

まずは\(-8<3x-5\)を解きます。

$$-8<3x-5$$

$$-3x<-5+8$$

$$-3x<3$$

$$x>-1$$

 

次に\(3x-5<4\)を解いていきます。

$$3x-5<4$$

$$3x<4+5$$

$$3x<9$$

$$x<3$$

 

そして、2つの答えの共通範囲をとると

このように、答え\(-1<x<3\)を求めることができます。

 

3つの式がつながっている不等式の解き方をまとめておきます。

  1. 小<中、中<大にわけて2つの不等式を作る
  2. 2つの不等式を連立させて解く

以上!

 

ちなみに、今回の問題のように

小、中、大の式の中にxを含む式が1つしかないときには

連立不等式を解かなくても

このように計算してやることができます。

$$-8<3x-5<4$$

各辺に5を加える

$$-8+5<3x-5+5<4+5$$

$$-3<3x<9$$

各辺を3でわる

$$-1<x<3$$

 

明らかにこっちの方が楽だよね(^^;

でも、こうやって解ける問題ばかりが出題されるわけではないから

必ず連立不等式で解けるようにしておきましょう。

 

このような不等式は、連立不等式にしないといけないからね!

 

それでは、理解を深めるために演習問題に挑戦してみましょう。

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演習問題で理解を深める!

次に不等式を解きなさい。

$$(1) -3<2x-1<3$$

$$(2) 3x-8<5x-4<4x$$

$$(3) -6x+2<2x+1≦4x+9$$

それでは、それぞれ解説していきます。

$$(1) -3<2x-1<3$$

答えはこちら

小<中、中<大をとって、連立不等式を作ります。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -3<2x-1 \\ 2x-1<3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

それぞれの不等式を解いていくと

$$-3<2x-1$$

$$-3+1<2x$$

$$-2<2x$$

$$-1<x$$

 

$$2x-1<3$$

$$2x<3+1$$

$$2x<4$$

$$x<2$$

 

そして、2つの共通範囲を求めると

(1)答え

$$-1<x<2$$

この問題は、ちょっとラクに計算できるパターンのものですね。

$$-3<2x-1<3$$

各辺に1を加えて

$$-3+1<2x-1+1<3+1$$

$$-2<2x<4$$

各辺を2でわって

$$-1<x<2$$

このように計算してもOKです。

 

$$(2) 3x-8<5x-4<4x$$

答えはこちら

小<中、中<大をとって、連立不等式を作ります。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x-8<5x-4 \\ 5x-4<4x \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

それぞれの不等式を解いていくと

$$3x-8<5x-4$$

$$3x-5x<-4+8$$

$$-2x<4$$

$$x>-2$$

 

$$5x-4<4x$$

$$5x-4x<4$$

$$x<4$$

 

そして、2つの共通範囲を求めると

(2)答え

$$-2<x<4$$

 

$$(3) -6x+2<2x+1≦4x+9$$

答えはこちら

小<中、中<大をとって、連立不等式を作ります。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -6x+2<2x+1 \\ 2x+1≦4x+9 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

それぞれの不等式を解いていくと

$$-6x+2<2x+1$$

$$-6x-2x<1-2$$

$$-8x<-1$$

$$x>\frac{1}{8}$$

 

$$2x+1≦4x+9$$

$$2x-4x≦9-1$$

$$-2x≦8$$

$$x≧-4$$

 

そして、2つの共通範囲を求めると

(3)答え

$$\frac{1}{8}<x$$

3つの不等式解き方 まとめ

演習問題お疲れ様でした!

3つの式がつながっている不等式は

小<中、中<大

というように2つの不等式に分けて

連立不等式として計算するということでした。

 

この3つの不等式は

二次関数の最大値、最小値の場合分けなどで

出てくることが多いので

地味な問題ではありますが

確実に解けるようにしておきたいですね(^^)

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