【文字係数の一次不等式】場合分けのやり方をイチから解説!




今回は、数学Ⅰの単元から

「文字係数の一次不等式の解き方」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】(ニューアクションβより)

次の不等式を解け。ただし、\(a\)は定数とする。

(1)\(ax+3<0\)

(2)\((a+1)x≦a^2-1\)

(3)\(ax>b\)

文字係数の一次不等式の場合分け

\(x\)の係数が文字になっているときには、次のように場合分けをしていきます。

 

\(x\)の係数が正、0、負のときで場合分けをしていきます。

 

 

不等式を解く上で気をつけないといけないこと。

それは、

負の数をかけたり割ったりすると不等号の向きが変わる。

ということですね。

さらに、係数が0になってしまう場合には、

係数で割ってしまうことができなくなります。

 

 

\(x\)の係数が文字になっていると、

正?負?それとも0なの?

と、いろんなパターンが考えられるわけです。

 

なので、全部のパターンを考えて解いていく必要があるのです。

 

(1)の解説

(1)\(ax+3<0\)

\(x\)について解いていくと、\(ax<-3\) となる。

ここで、\(x\)の係数である\(a\)が正、0、負のときで場合分けしていきましょう。

 

\(a>0\)のとき

係数が正なので、不等号の向きは変わりません。

$$\begin{eqnarray}ax&<&-3\\[5pt]x&<&-\frac{3}{a} \end{eqnarray}$$

 

\(a=0\)のとき

\(0\cdot x<-3\) という不等式ができます。

このとき、左辺は\(x\)にどんな数を入れたとしても0をかけられて0になってしまいます。

どう頑張っても\(-3\)より小さな値にすることはできませんね。

よって、\(x\)にどんな数を入れてもダメ!

つまり、\(a=0\)のときは解なしということになります。

 

\(a<0\)のとき

係数が負なので、不等号の向きが変わります。

$$\begin{eqnarray}ax&<&-3\\[5pt]x&>&-\frac{3}{a} \end{eqnarray}$$

 

以上より、解をまとめると

答え

\(a>0\)のとき \(x<-\frac{3}{a}\)

\(a=0\)のとき 解なし

\(a<0\)のとき \(x>-\frac{3}{a}\)

(2)の解説

(2)\((a+1)x≦a^2-1\)

\(x\)の係数\((a+1)\)が正、0、負のときで場合分けしていきましょう。

 

\(a+1>0  ⇒  a>-1\)のとき

係数が正になるので、不等号の向きは変わりません。

$$\begin{eqnarray}(a+1)x&≦&a^2-1\\[5pt]x&≦&\frac{a^2-1}{a+1}\\[5pt]x&≦&\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}\\[5pt]x&≦&a-1 \end{eqnarray}$$

 

\(a+1=0  ⇒  a=-1\)のとき

\(0\cdot x≦0\) という不等式ができます。

このとき、\(x\)にどんな値を代入しても左辺は0になります。

すると不等式は、\(0≦0\) となり、ちゃんと成立していることが分かります。

 

よって、\(x\)がどんな値であっても不等式が成り立つということなので、

\(a=-1\) のとき、解はすべての実数となります。

 

\(a+1<0  ⇒  a<-1\)のとき

係数が負になるので、不等号の向きは変わります。

$$\begin{eqnarray}(a+1)x&≦&a^2-1\\[5pt]x&≧&\frac{a^2-1}{a+1}\\[5pt]x&≧&\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}\\[5pt]x&≧&a-1 \end{eqnarray}$$

 

以上より、解をまとめると

答え

\(a>-1\)のとき \(x≦a-1\)

\(a=-1\)のとき 解はすべての実数

\(a<-1\)のとき \(x≧a-1\)

 

(3)の解説

(3)\(ax>b\)

ん、これって簡単じゃない?

と思った方はちょっと落とし穴にはまっているかもしれませんw

この問題は2段階の場合分けが必要になります。

 

まずは、\(x\)の係数\(a\)が正、0、負のときで場合分けしていきましょう。

 

\(a>0\)のとき

係数が正になるので、不等号の向きは変わりません。

$$\begin{eqnarray}ax&>&b\\[5pt]x&>&\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

 

\(a<0\)のとき

係数が負になるので、不等号の向きが変わります。

$$\begin{eqnarray}ax&>&b\\[5pt]x&<&\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

 

ここまでは簡単ですね!

気を付けるのは次、係数が0になるときのパターンです。

 

\(a=0\)のとき

\(0\cdot x>b\) という不等式ができます。

ここで困ったことが起こります。

 

\(x\)がどんな数であっても左辺は0になります。

ですが、\(b\)の値が分からんから、

\(0>b\)が成立するのかどうか不明!

ということになります。困りますね(^^;)

 

なので、ここからさらに場合分けをしていきます。

\(b<0\) であれば、\(0>b\) が成立することになるので、

解はすべての実数ということになります。

 

\(b≧0\) であれば、\(0>b\) は成立しないので、

解なしということになります。

 

以上のことをまとめると、

答え

\(a>0\)のとき  \(x>\frac{b}{a}\)

\(a=0\)のとき  \(b<0\)ならば解はすべての実数、\(b≧0\)ならば解なし

\(a<0\)のとき  \(x<\frac{b}{a}\)

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最後の問題はちょっと複雑な感じでしたが、

係数が文字になっている場合には次のようなイメージを持っておくようにしましょう!

 

 

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