【高校入試】二次方程式の難問を解説!難関高校の入試問題に挑戦!

今回は、難関高校の入試に出題された二次方程式の難問を解説していきます。

 

二次方程式は解き方のバリエーションが多い(+_+)

その為、たくさんの問題に触れることで、どの解き方を利用すればいいのかを体感的に身につける必要があります。

今回の記事では、難易度が高めの問題に絞って演習を行っていきます。

基礎から身につけたい方は、まずこちらの記事を参考にしてみてくださいね。

【二次方程式】問題の解説付き!解き方をパターン別に説明していくよ!

 


スマホでご覧いただく場合、数式が長すぎて画面に表示しきれない場合があります。

その場合には、数式を横にスライドしていただくことで式の続きを表示していただけます。

二次方程式の難問に挑戦!

次の二次方程式を解きなさい。

$$(x+2)(x-3)=\frac{3}{2}(x^2-5)$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=-3,   1$$

 

まずは展開して、式を整理していきましょう。

分数の形がイヤなので、両辺に2を掛けてからスタートしていきます。

$$(x+2)(x-3)=\frac{3}{2}(x^2-5)$$
$$2(x+2)(x-3)=3(x^2-5)$$

$$2(x^2-x-6)=3x^2-15$$

$$2x^2-2x-12=3x^2-15$$

$$-x^2-2x+3=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$(x+3)(x-1)=0$$

$$x=-3,   1$$

 

次の二次方程式を解きなさい。

$$\frac{1}{6}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}=0$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=\frac{9\pm \sqrt{17}}{4}$$

 

分数の形をなくすため、両辺に12を掛けてからスタートしていきます。

$$\frac{1}{6}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}=0$$
$$2x^2-9x+8=0$$

$$x=\frac{9\pm\sqrt{81-64}}{4}$$

$$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$$

 

次の二次方程式を解きなさい。

$$-(x-2)(x-1)+12=2(x+2)$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=3,   -2$$

 

まずは展開して、式を整理していきましょう。

$$-(x-2)(x-1)+12=2(x+2)$$
$$-(x^2-3x+2)+12=2x+4$$

$$-x^2+3x-2+12=2x+4$$

$$-x^2+x+6=0$$

$$x^2-x-6=0$$

$$(x-3)(x+2)=0$$

$$x=3,   -2$$

 

次の二次方程式を解きなさい。

$$6x^2-x-2=0$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=\frac{2}{3},   -\frac{1}{2}$$

解の公式を使って解く場合

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 6 \times (-2)}}{2\times 6}$$
$$=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{12}$$

$$=\frac{1\pm \sqrt{49}}{12}$$

$$=\frac{1\pm 7}{12}$$

$$x=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

$$x=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{2}{3},   -\frac{1}{2}$$

 

たすき掛けの因数分解を利用する場合

$$6x^2-x-2=0$$

$$(3x-2)(2x+1)=0$$

$$x=\frac{2}{3},   -\frac{1}{2}$$

 

次の二次方程式を解きなさい。

$$-x^2+\frac{7}{3}x-\frac{1}{3}=0$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=\frac{7\pm \sqrt{37}}{6}$$

 

分数のままでは計算がしにくいので、両辺に-3を掛けてから計算をスタートしていきます。

$$-x^2+\frac{7}{3}x-\frac{1}{3}=0$$
$$3x^2-7x+1=0$$

$$x=\frac{7\pm \sqrt{49-12}}{6}$$

$$x=\frac{7\pm \sqrt{37}}{6}$$

 

次の二次方程式を解きなさい。

$$(x+3)^2-10(x+3)+9=0$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=6,   -2$$

 

まずは展開して、式を整理していきましょう。

展開をするときには置き換えを利用するとラクにできますね!

$$x+3=Xとすると$$
$$X^2-10X+9=0$$
$$(X-9)(X-1)=0$$

$$\{(x+3)-9\}\{(x+3)-1\}=0$$

$$(x-6)(x+2)=0$$

$$x=6,   -2$$

 

\(x>0\)とするとき、次の式を満たす\(x\)の値を求めなさい。

$$1:(x+2)=(x+2):(5x+16)$$
解説&答えはこちら
答え

$$x=4$$

 

比例式となっておりますが、内×内=外×外の形から方程式を作って解いていきましょう。

$$1:(x+2)=(x+2):(5x+16)$$
$$(x+2)^2=5x+16$$

$$x^2+4x+4=5x+16$$

$$x^2-x-12=0$$

$$(x-4)(x+3)=0$$

$$x>0より$$

$$x=4$$

\(x>0\)という条件を見落とさないように気を付けてくださいね(^^)

 

\(x\)についての二次方程式

$$x^2-3ax+(a+1)(a-6)=0$$

の解の1つが\(a-2\)であるとき、\(a\)の値を求めなさい。

解説&答えはこちら
答え

$$a=-2,   -1$$

 

方程式の解である\(x=a-2\)を代入して、\(a\)の方程式を解いていきましょう。

$$(a-2)^2-3a(a-2)+(a+1)(a-6)=0$$
$$a^2-4a+4-3a^2+6a+a^2-5a-6=0$$
$$-a^2-3a-2=0$$
$$a^2+3a+2=0$$
$$(a+2)(a+1)=0$$

$$a=-2,   -1$$

 

次の二次方程式

$$(x+3)^2+(x+3)(x-3)=1$$

の2つの解の差の2乗の値を求めなさい。

解説&答えはこちら
答え

$$11$$

 

まずは、方程式の解を2つ求めます。

$$(x+3)^2+(x+3)(x-3)=1$$
$$x^2+6x+9+x^2-9=1$$
$$2x^2+6x-1=0$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{36+8}}{4}$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{4}$$
$$x=\frac{-6\pm2\sqrt{11}}{4}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{11}}{2}$$
これら2つの解の差を2乗すると
$$\left( \frac{-3+\sqrt{11}}{2}-\frac{-3-\sqrt{11}}{2}\right)^2$$
$$=(\sqrt{11})^2$$
$$=11$$

 

次の二次方程式

$$x^2+ax+b=0$$

の2つの解が\(2,  3\)であるとき\(a,  b\)の値をそれぞれ求めなさい。

解説&答えはこちら
答え

$$a=-5,   b=6$$

 

与えられた二次方程式の\(x^2\)の係数が1であり、解が2,3ということから、この二次方程式は因数分解すると

$$(x-2)(x-3)=0$$

という形になることがわかる。

ここから、この方程式を展開すると

$$x^2-5x+6=0$$

となる。

これと問題に与えられた\(x^2+ax+b=0\)が同じになるはずだから

それぞれの係数を比較して取ってやると

$$a=-5,   b=6$$

となります。

 

こんなやり方イヤだなぁ…という方は

\(x=3,  -2\)を\(x^2+ax+b=0\)に代入して連立方程式を解くという方法でもOKです。

 

以上!

二次方程式の難問に挑戦してみようでした!

全部解けましたか??

間違えてしまった問題は何度も挑戦して、理解を深めていきましょう(/・ω・)/

 

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